Рівняння площини

Алгебраїчне рівняння першого степеня, що зв’язує координати точки в просторі має вигляд

(3.17)

при умові

В декартовій системі координат в просторі кожна площина може бути задана лінійним рівнянням (3.17) і, навпаки, кожне лінійне рівняння (3.17) в декартовій системі координат в просторі задає площину . Отже, площина – це алгебраїчна поверхня першого порядку.

Рівняння (3.17) називається загальним рівнянням площини.

Розглянемо точку, що лежить в площині

Тоді

Вираховуючи із рівняння (3.17) дану рівність, одержимо рівняння площини, що проходить через задану точку

. (3.18)

Якщо довільна точка на площині, то вектор повністю лежить в площині а ліва частина рівності (3.18) виражає скалярний добуток векторів і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні, а це значить, що вектор перпендикулярний до площини (рис.3.11). Вектор, який перпендикулярний до площини називається нормальним вектором площини.

Розглянемо три точки, що лежать в площині (і не лежать на одній прямій)

Рис.3.11 Рис.3.12

Очевидно, що вектори ,

також будуть лежати в площині Тоді довільна точка буде належати цій площині, коли вектор буде лежати в площині Отже, вектори компланарні (рис.3.12). Якщо три вектори компланарні, то їх змішаний добуток дорівнює нулю ( ) .

Записавши змішаний добуток трьох векторів в координатній формі, одержимо

(3.19)

Рівняння (3.19) називається рівнянням площини, що проходить через три заданих точки.

Нехай задані точки перетину площини з осями координат Тоді одержимо із рівняння (3.19)

або

. (3.20)

Рівняння (3.20) називається рівнянням площини у відрізках.

Зв’язкою площин називається сукупність площин, що проходять через фіксовану точку – центр зв’язки. Нехай площини з рівняннями перетинаються в єдиній точці Рівняння зв’язки площин

з центром в точці при умові, що

Пучком площин називається сукупність площин, що проходять через фіксовану пряму – вісь пучка. Рівняння пучка площин має вигляд

при умові де в дужках стоять ліві частини рівняння двох площин пучка.

Нехай ми маємо три площини, задані рівняннями

Щоб знайти їх спільні точки, треба розв’язати систему заданих трьох рівнянь, що описують ці площини. Якщо система має єдиний розв’язок, то площини мають спільну точку (перетинаються в одній точці).

Якщо розв’язки не існують, то спільних точок немає. У випадку безлічі спільних точок можливі два випадки: або всі три

площини перетинаються по спільній прямій (пучок трьох площин), або всі три площини співпадають. Другий випадок можливий лише тоді, коли всі три рівняння зводяться до одного (пропорційність всіх чотирьох коефіцієнтів).

3.4.2. Кут між двома площинами