Віддаль від точки до площини

Якщо радіус-вектор точки площини , радіус-вектор точки а її нормальний вектор. то рівняння (3.18) можна записати у векторній формі

Якщо і направляючі вектори площини (вектори, які паралельні площині або лежать в площині), то вектор а тому може бути прийнятий за нормальний вектор площини

Тоді рівняння площини можна записати у вигляді

(3.24)

Нехай задана точка радіус-вектор якої позначимо через Віддаль від точки до площини краще всього визначити як висоту паралелепіпеда, побудованого на векторах , поділивши об’єм паралелепіпеда на площу основи (рис.3.14). Ми одержимо

Але для кожного нормального вектора площини можна вибрати направляючі вектори і такими, щоби Тому ми маємо

Рис.3.14 або в координатній формі

В силу того, що точка маємо

звідки Тоді одержимо формулу для обчислення віддалі від точки до площини заданої рівнянням

(3.25)

Приклад 1. Задані чотири точки і .

а) Перевірити чи лежать чотири точки в одній площині;

Написати рівняння:

б) площини що проходить через три точки

в) площини , що проходить через точку і паралельна площині

г) площини , що проходить через точки і перпендикулярна

площині

д) площини що проходить через точки

Обчислити:

е) кут між площинами і

є) віддаль між площинами і

Р о з в ‘ я з о к.

а) Знайдемо вектори Точки лежатимуть в одній площині тоді, коли вектори компланарні (змішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю):

Отже вектори некомпланарні, а значить, точки не лежать в одній площині.

б) Запишемо рівняння площини , що проходить через три заданих точки :

в) Рівняння площини , що проходить через точку

Оскільки і паралельні, то

г) Рівняння площини шукаємо у вигляді (рівняння площини, що проходить через точку ) . Коефіцієнти знаходимо із умов: тоді

і після ділення рівняння на

одержимо

д) Рівняння площини , що проходить через точки

е) Кут між площинами і визначається як кут між їх нормальними векторами і

або

є) Віддаль між двома паралельними площинами і знаходимо як віддаль від довільної точки, що лежить в площині наприклад до площини

Приклад 2. Записати рівняння площини, що проходить через точку і вісь

Р о з в ‘ я з о к. Рівняння площини шукаємо у вигляді Оскільки площина проходить через вісь то точки , лежать в даній площині; значить, і рівняння шуканої площини має такий вигляд (після ділення на )