Параллелепипед

В изотропном параллелепипеде (рис.3.7,а) с внутренними источниками тепла, равномерно распределенными по объему, стационарное температурное поле описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое, как это следует из (2.11.а), имеет вид

Приняв температуру всех шести граней одинаковой, равной t_s, и отсчитывая температуру любой точки относительно t_s, граничные условия примут вид

Точное решение дифференциального уравнения при указанных граничных условиях, которое позволяет рассчитать температуру в любой точке тела t(x, y, z) приведено в работе [5].

Там же показано, что температура в центре параллелепипеда t_o= F(L₁/2, L₂/2, Н/2) может быть найдена по формуле

Коэффициент С зависит только от двух параметров: H/L₁ и H/L₂, при этом направление координатных осей выбирается таким, чтобы выполнялось условие: L₁ > H, L₂ > H.

Зависимость C=F(H/L₁, H/L₂) представлена на рис.3.7.

-

-

Рис.3.7. К анализу температурного поля параллелепипеда:

а - однородный анизотропный параллелепипед;

б – график зависимости С = F(H/L₁, Н/L₂].

На основании точного решения в [1] предложена приближенная формула, позволяющая определить температуру t_j в любой j -ой точке параллелепипеда

где l_j - расстояние от центра параллелепипеда до j -ой

точки;

L_j - расстояние от центра до грани параллелепипеда по

прямой, проходящей через точку j.

Для анизотропного параллелепипеда, коэффициенты теплопроводности которого по координатным осям x, y, z различны и источники энергии по объему распределены равномерно, выражения (3.22) и (3.23) остаются справедливыми, если в дифференциальное уравнение изотропного тела подставить преобразование координаты

где за базовую теплопроводность принимается одна из λ_x,

λ_y, λ_z.

Если за λ принять λ_z, то коэффициент С будет функцией

C = f(H/L₁₀, H/L₂₀),

где L₁₀ = L₁ (λ_z/λ_x)^0.5; L₂₀ = L₂ (λ_z/λ_y)^0.5 – преобразованныеразмеры тела.

Здесь, как и для изотропного тела, направление координат выбирается так, чтобы L₁₀ > H, L₂₀ > H.