Растекание спектра

Предположим, что с помощью АЦП регистрируется периодический сигнал. Обычно длительность записанного сигнала не равна периоду сигнала или целому количеству периодов сигнала. Какие изменения произойдут в спектре сигнала, если выполнить дискретное преобразование Фурье записанного сигнала, длительность которого не равна целому числу периодов исходного сигнала?

Периодический сигнал имеет дискретный спектр, то есть он может быть представлен как линейная комбинация гармонических функций. Поэтому достаточно рассмотреть, какие изменения в спектре произойдут в спектре одной гармонической функции. В разделе про дискретное преобразование Фурье говорилось, что сигнал – это ровно один период сигнала. То есть в данном случае зарегистрированный отрезок периодического сигнала должен быть периодически продолжен, при этом периодом повторения должна быть длительность всей записи сигнала. Если длительность записи отлична от периода сигнала, который записывали, то при периодическом повторении записи сигнала произойдёт искажение формы сигнала, соответственно и его спектра.

Например, регистрировался синусоидальный сигнал с периодом , а длительность записи равна , причём , где – целое число. Тогда при периодическом повторении записи сигнала (рис. 3) появятся разрывы первого рода, так как значения сигнала в начале и конце записи разные.

Рис. 3. Периодически повторяющийся отрезок сигнала.

На рис. 3 сплошной линией показан отрезок записанного сигнала, а штрихованной линией его периодическое продолжение. Период повторения равен . Отрезок записанного сигнала можно также интерпретировать как исходный сигнал, свёрнутый с прямоугольным импульсом, определяющий отрезок времени, в который была сделана запись. Тогда согласно свойствам преобразования Фурье спектр записанного сигнала будет произведением исходного спектра со спектром прямоугольного импульса (рис. 4).