Примеры

1)

.

2) .

3)

, но , ,

Как следствие этих определений мы имеем

,

,

и, что менее очевидно,

,

.

Последние тождества важны по двум причинам:

1) Из дальнейших математических рассуждений будет видно, что иногда следует сводить к А (а также к А) или, наоборот, расширять А до ();

2) Можно не обратить на них внимания из-за того, что, выраженные словами, эти тождества могут оказаться лишенными смысла даже тогда, когда они логически верны.

Замечание:

Определение объединения использует слово–включение “или”, называемое так потому, что оно включает “и”, так что

.

Элементы в пересечении множеств (в данном случае это единственное число 2) включаются в объединение. Это обычная математическая договоренность. Существует пример, в котором математическое значение является более точным, чем при общем употреблении.

Пример:

В предложении, что каждый день или дождливый, или ясный, математическим (или логическим) ответом на вопрос: “Ясно или дождливо сегодня?” будет “Да”.

Определение: Разбиением множества U называется система множеств, в которой все попарные пересечения пусты, а их объединение совпадает U.

Определение: Класс разбиения (блок разбиения) есть множество такой системы множеств.

Определение: Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не принадлежат В:

.

Разность - операция строго двухместная (т. е. определена для двух множеств) и некоммутативная.

.

Если , то .

Пример:

1)

.

2) .

Определение:

Симметрическая разность множеств А и В, т. е. А D В определяется так

.

Это элементы, принадлежащие только А или только В.

Пример:

Пусть мы имеем 2 программы P и Q и что А- множество всех значений данных, доступных Р, В - множество значений данных, доступных Q, тогда

- множество всех данных, доступных по крайней мере или P или Q;

- множество всех данных, доступных Р и Q;

- множество всех данных, доступных Р, но недоступных Q;

- множество всех данны доступных Q, но недоступных Р;

- множество всех данных, доступных только одной из программ.

Определение:

Дополнением (до U) множества А называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих U):

.

Множество U должно быть задано либо очевидно.

Пример:

1) Из определения очевидно, что - множество всех натуральных чисел, больших 100.

2) Запись без контекста (т. е. без указания U) неясна:

то ли это множество отрицательных чисел;

то ли это множество положительных дробных чисел;

то ли это пустое множество натуральных чисел.

Определение: Операции и дополнение называются булевыми операциями над множествами.