2015-06-28
2440
Определение: Вектор - это упорядоченный набор элементов (“кортеж” - размещение).
Определение: Координаты или компоненты вектора - это элементы, образующие вектор. Координаты нумеруются слева направо.
Определение: Длина (размерность) вектора - число координат вектора.
В отличие от элементов множества, его координаты могут совпадать. Обозначение вектора: в круглых скобках, координаты - через запятую (0, 5, 4, 5, 0, 1). Иногда скобки и даже запятые опускаются.
Определение: Векторы длины 2 называют упорядоченными парами;
длины 3 - тройками;
длины 4 - четверками;
длины n - n-ками.
Определение: Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину, и соответствующие их координаты равны, т. е.
,
если m = n и
.
Определение: Прямым произведением множеств А и В (обозначается А 
В) называется множество всех пар (a, b) таких, что 
. В частности, если А = В, то обе координаты принадлежат А (обозначим 
).
Аналогично:
Определение: Прямое произведение n множеств 
(
) называется множеством всех векторов 
, длины n таких, что 
.
обозначается 
.
Примеры:
1) Множество 
- множество точек плоскости, т. е. множество всех пар вида (a, b), где 
и является координатами точек плоскости. Координатное представление точек плоскости предложил Декарт. Это исторически первый пример прямого произведения. Поэтому иногда прямое произведение называется декартовым.
2) 
.
Тогда 
- множество, содержащее обозначение всех 64-х клеток шахматной доски.
3) Рассмотрим множество всех числовых матриц 3 4, матриц вида:
,
где 
Принадлежит множеству R. Строки матрицы - элементы множества 
(векторы длины 4). Сама матрица рассматривается как упорядоченный набор элементов множества 
. Компоненты матрицы, заданной таким образом - строки, а не числа; 
. Содержательный смысл этого неравенства в следующем: в векторе 
нет никакой информации о строении матрицы; тот же вектор мог бы перечислять элементы матрицы 4 3 или 2 6, которые, как математические объекты, вовсе не совпадают с матрицей 4 3.
Итак, компонентами вектора могут быть также и векторы:
.
4) Пусть А - конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.). Такие множества обычно называют алфавитом.
Определение: Слова длины n в алфавите А - это элементы множества .
Определение: Множество всех слов в алфавите А - это множество
Здесь слово определено как вектор. При написании слова не принято пользоваться разделителями: скобками, запятыми; они могут оказаться символами самого алфавита. Поэтому слово в алфавите обозначается как конечная последовательность символов из алфавита А.
Примеры:
1) Десятичное число – слово в алфавите {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
2) Текст, отпечатанный на машинке, – слово в алфавите, определяемом клавиатурой этой машинки.
