Пример

1. Рассмотрим круг G, радиуса 1 с центром в точке (3, 2), то есть множество всех пар действительных чисел (x, y), удовлетворяющих соотношению:

.

Круг G задает соответствие между R и R (осью абсцисс и осью ординат). Образом числа 4 оси абсцисс при этом соответствии является единственное число 2 оси ординат. Образом числа 3 оси абсцисс - отрезок [1; 3] оси ординат. Отрезок [1; 3] оси ординат является образом отрезка [2; 4] оси абсцисс. Отрезок [2; 4] оси абсцисс является прообразом числа 2 оси ординат.

Данное соответствие - нефункциональное, так как, например, точке 3 абсцисс соответствует не одна точка, а отрезок.

Примером функционального соответствия является соответствие, заданное дугой АВС. Но оно не является инъективным, так как прообразом, например, точки 2 оси ординат является не одна точка, а отрезок [2, 4].

Напомним, что для задания соответствия надо указать:

а) множество G;

б) множество А и В, то есть указать, подмножеством какого прямого произведения является G.

В данном примере круг G задает и другое соответствие: между отрезками [2, 4] и отрезком [1, 3]. При этом соответствие и отличаются по некоторым свойствам. Например, второе соответствие в отличие от первого , всюду определено и сюрьективно. Поэтому следовало бы определять соответствие через тройку множеств (G, A, B), тогда не пришлось бы оговариваться, что один круг может задавать два соответствия. Это и так было бы ясно из различия троек и .

Но такие оговорки приходится делать редко:

- либо множества А и В ясны из контекста;

- либо различия в их выборе не влияют на исследуемые свойства соответствия.

Пример:

Множество векторов вида , где задает взаимно однозначное соответствие между множествами N - натуральных чисел и множеством степеней двойки.