2015-06-28
628
Утверждение 1:
Множество 
- счетно. Соответствие между N и взаимно однозначно. Это было показано в примере.
.
Утверждение 2:
Вообще любое бесконечное подмножество множества N - счетно.
Пояснение. Действительно, пусть 
. Выберем в 
наименьший элемент и обозначим его за 
. В 
выберем наименьший элемент и обозначим его за 
. В 
выберем наименьший элемент и обозначим его за 
и т. д. Поскольку для всякого натурального числа имеется лишь конечное множество меньших натуральных чисел, то любой элемент из рано или поздно получит свой номер. Эта нумерация, то есть соответствие 
, и есть взаимно однозначное соответствие между и N.
Утверждение 3:
Множество 
- счетно.
Пояснение. Нумерацию 
можно устроить следующим образом. Разобьем на классы. К первому классу 
отнесем все пары чисел с наименьшей суммой, такая пара одна — (1, 1).
Ко второму классу 
отнесем все пары чисел с суммой 3:
.
В общем случае 
. Каждый класс содержит ровно i пар. Упорядочим теперь классы по возрастанию индексов i, а пары внутри класса по возрастанию первого элемента и занумеруем получившуюся последовательность номерами 1, 2, 3,... Очевидно, что если a+b = i+1, то пара (a,b) получит номер:
|
|
|
1+2 +... (i - 1) + a,
(где а – нумерация в классе 
по возрастанию первого элемента пары, то есть по элементу а). Эта нумерация доказывает счетность .
