Интервальные оценки

Для изучения закономерностей вариации при нормальном распределении широко пользуются величиной нормированного отклонения t. Мы ввели этот параметр в уравнении (15) для преобразования переменных при вычислении функции распределения вероятностей. Смысл такого преобразования (нормирования) заключается в том, что за начало отсчета значений случайной величины берется математическое ожидание (среднее значение), а среднее квадратическое отклонение используется как единица измерения. Нормированное отклонение представляет собой отклонение той или иной варианты от математического ожидания,выраженное в сигмах:

t= , отсюда х – μ=σt. (20)

Каждая варианта характеризуется определенным значением t, указывающим ее положение в ряду значений или на кривой распределения. Так, если какая то варианта имеет значение t=1,5, это значит, что она располагается в правой части кривой на расстоянии в 1,5σ. Если варианта имеет значение t=-2,5, то она расположена в левой части кривой на расстоянии от μ в 2,5σ и т.д. Зная вариационную кривую распределения вариант по тому или иному признаку и предполагая, что распределение является нормальным, можно заранее предсказать, какой процент изученных вариант укладывается в пределах 1σ, в пределах 2σ, в пределах 3σ. Так, в пределах 1σ – располагается 68,3% всего ряда, в пределах 2σ – 95,5% и в пределах 3σ – 99,7% всех вариант.

Вероятности 0,95 и 0,99 (95% и 99%), получили название доверительных вероятностей, т.е. таких, значениям которых можно достаточно доверять или которыми можно уверенно пользоваться. Доверительные вероятности, в свою очередь, определяют доверительные границы или доверительный интервал, в котором может находиться случайная величина. Из уравнения (20) можно записать выражение для интервала значений случайной величины х:

Δх=±st. (21)

Произведение st будет определять величину интервала, в котором может находиться случайная величина с заданной степенью вероятности. Вероятность любого отклонения от средней, как функция нормированного отклонения, определяется с помощью таблицы 2 Приложения. Геометрически величины, находящиеся в таблице, являются долями площади нормальной кривой в границах от -t до +t, выражающие в то же время и вероятность. Первая колонка слева таблицы 2 дает значения t с одним десятичным знаком, второй десятичный знак t представлен 10 столбцами, на которых вверху стоят цифры от 0 до 9. Тогда t=1,00 соответствует вероятность 0,6827 (11–я строка, 1–я цифра) и т.д. В то же время, задаваясь определенным уровнем вероятности, можно определить t. Для различных вероятностей доверительные интервалы будут следующими: