Часть 4. Векторы

1. Даны точки А (2; 2), В (-2; 0), С (0; 2). Найдите такую точку D (x; y), чтобы и были равны.

Решение: (на заметку, здесь и далее рассматриваются векторы, но стрелку сверху я опустила для скорости набора).

1) Найдем координаты вектора АВ: АВ(-2-2; 0-2)=АВ(-4; -2). 2) CD(x-0;y-2). 3) Приравниваем координаты: х=-4, у-2=-2, х=-4, у=0. Ответ: D(-4;0).

2. Дан ромб ABCD со стороной 1 и углом А,равным 60°. Чему равна длина суммы векторов: 1) ; 2) ; 3) ;4) ?

Решение: 1) т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то BD=2OD, AC=2OC, BD+AC=2OD+2OC=2(OD+OC). По правилу параллелограмма OD + ОС = OE. Так

как ОЕ=ВС, то |OE|=1? 2|OE|=2;

2) AB + DC = АВ + BK= AK, |AK | = 2;

3) AD+CB=AD+DA=AA=O, |O|=0;

4) BC+CD=BD (по правилу треугольника). Так как A = 60°, то ∆ABD – правильный, значит, |BD|=1.

3. В треугольнике АВС вектор = и вектор = . Постройте каждый из следующих векторов: а) ; б) ; в) ; г) – .

Решение: а) d- медиана из А, б) d=1/2BC; в) d=1/2BC, заметим, что длины векторов ВО и СО равны, а направление противоположно; г) d- медиана из А, заметим, что длины векторов АО и ОА равны, а направления противоположны.

а)

б)

в)

г)

4. Докажите, что если и векторы ненулевые и не коллинеарные, то из них можно составить треугольник.

Решение: Отложим от произвольной точки А вектор АВ = а, от точки В отложим вектор ВС = . Тогда по правилу треугольника для сложения векторов вектор АС = АВ + ВС = а + b=-- с,значит, вектор СА = - АС = с. Таким образом, треугольник А ВС составлен из векто­ров а = АВ, b = ВС и с = СА, что и требовалось доказать.

5. В параллелограмме ABCD точка К – середина стороны ВС, М – середина стороны CD. АВ= , AD= . Разложите по векторам и следующие векторы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение: 1. По правилу треугольника АК=АВ+ВК, ВК= ВС= ,тогда АК = + .

2. Аналогично пункту 1 данной задачи: AM = + .

3. DK = DC + CK = + CB= - BС = - .

4. Аналогично пункту 2 данной задачи: ВМ = - .

5. МК =МС + СК = DC + СВ = - .

6. При каком значении k векторы : а) коллинеарны; б) одинаково направлены?

Решение: Из условия коллинеарности, имеем: . Отсюда k²=4, k=-2, k=2 (2>0). Если k=±2 – коллинеарны, если k=2 – одинаково направлены.

7. Доказать, что если для ненулевых векторов , , выполняются равенства: = + , | | = | |+| |, то векторы , , коллинеарны.

Док-во: Предположим, что векторы a, b, с неколлинеарны. Тогда из условия с = а + b следует, что векторы a, b, с образуют треугольник. Но для длин сторон треугольника, а значит, для длин векторов a, b, с выполняется неравенство: | с| < | а | + | b |. Получили противоречие с ус­ловием. Значит, векторы а, b, с коллинеарны.

8. Доказать, что если , то точки М, В, А лежат на одной прямой.

Решение: Из условия последовательно получим: ; ОМ-ОВ=р(ОА-ОВ), ВМ=рВА. Если р≠0, то векторы ВМ и ВА коллинеарны, а точки В, М, К лежат на одной прямой; если р=0, то вектор ВМ =0 и точки В, М, А также лежат на одной прямой.

9. Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору и одинаково направленный с ним.

Решение: Найти b(x,y), |b|=1, коллинеарный вектору а(6, 8). Имеем |b|= =1, . Отсюда решая систему находим b(; ).

10. В трапеции отношение оснований и равно 3:2, диагонали трапеции пересекаются в точке F. Выразить вектор через векторы = и = .

Решение. 1) Треугольники и подобны по двум углам. Из подобия следует, что | |:| |= 2:3, откуда | |:| |= 5: 3.

Следовательно, = , = AB+BD =a+ =a+ b. = AD= + , = + = + или = + .

11. В треугольнике точка на стороне и точка на стороне выбраны так, что | |:| |= 2: 1, | |:| = 2: 1. Отрезки и пересекаются в точке P. Найти : .

Решение. Обозначим = , = . Из условия следует, что точка общая для двух отрезков. Поэтому выразим вектор двумя способами.

1) = - = - , = = - , = + =

= + ( - ) = + , = ∙ = + , где - неизвестное число.

2) = = , = - = - , = = - , где - неизвестное число, = + = (1- ) + . В силу единственности разложения вектора по двум заданным неколлинеарным векторам имеем равенства: = 1- , = . Отсюда = , = 1 - , = .

Следовательно, = , а поэтому │ │:│ │= 6:1.

12. Точки R и Q – проекции точки Р, лежащей на стороне АВ равностороннего треугольника ABC, на его стороны АС и ВС. Доказать, что прямая, содержащая медиану РМ треугольника RQP, проходит через центр О треугольника ABC.

Решение: На рисунке О – точка пересечения медиан AF и BE треугольника ABC.

Покажем, что РМ || РО. По векторной формуле 1 РМ = (PQ + PR); заметим, что векторы PQ и BE, PR и AF коллинеарны. Используя условие коллинеарности двух ненулевых векторов, запишем: PQ=хBE, PR =уAF, тогда РМ = (хВЕ+уAF) (1). По векторной формуле 2 будем иметь ОР =хОВ + уОА, так как QP: BE = АР: АВ = , PR:AF=BP:AB= . По свойству медиан треугольника ОВ =- BE, ОА = - AF, тогда OP =- (xBE + yAF) (2), сравнивая равенства (1) и (2), получим РМ =- ОР, т. е. векторы РМ и ОР коллинеарны, а значит, прямая, содержащая медиану РМ треугольника RQP, проходит через центр О треугольника ABC.

13. В параллелограмме ABCD = , = . Выразите векторы , через и .

Решение: ВС=с, CD=-a, AC=a+c, BD=-(a-c), DB=a-c, CA=-(a+c).

14. В треугольнике ABC точка М принадлежит стороне АВ,при этом АМ: MB = 2: 1, точки Q, N – на стороне ВС, BQ: QC = 1: 6, BN: NC = 3:2, Р – на стороне АС, АР: PC = 2: 3. Отрезки MN и QP пересекаются в точке О. Найдите МО: ON, РО: OQ.

Решение: Обозначим МО: ON = β:α; РО:OQ=х:у. По векторной формуле 2* выразим вектор ВО через векторы ВМ и BN, ВО =α ВМ+βBN; так как ВМ= ВА, BN = ВС, то ВО= αВА+ βBC (1); по векторной формуле 2* выразим вектор ВО через векторы BQ и ВР, ВО =xBQ +уВР; так как BQ= ВС, ВР=ВА+АР; АР= АС; АС=ВС-ВА. ВР=ВА+ (ВС-ВА)= BС+ BА, то ВО=( x+ y)BC+ y ВА. (2) Так как вектор ОВ единственным образом раскладывается по неколлинеарным векторам ВС и ВА, то коэффициенты в разложениях (1) и (2) равны, т.е. β= x+ y, α= у, заметим, что x+y=1 (3), α+β=1 (4), тогда имеем систему уравнений: (1-α)= х+ (1 -х), α = (1-x). Решая эту систему, получим: х = , α = ; учитывая (3) и (4), получим y= , β= , соответственно х:у = =PO:OQ= , M0:0N=α:β= .

15. , , , . Найдите косинус угла между векторами m и n.

Решение. Воспользуемся алгоритмом вычисления угла между векторами:

1. Векторы m и n разложены по базисным векторам а и b.

2. Скалярное произведение векторов m и n будет равно m∙n=(a+3b)(-a+b)=a²-2ab+3b² = -3.

3. Вычислим длины векторов аналогично . 4. Тогда cos = .

16. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть в ∆ABC проведены высоты AD, BF, CL. Пусть прямые AD и BF пересекаются в точке О. Значит, АО∙СВ = 0 (1), BO∙АС = 0 (2). Покажем, что СО∙BA = 0. Выразим все векторы через векторы СО, СВ и СА. АО=-СА+ СО, ВО=-(ОС+СВ). Сложим равенства (1) и (2), получим: АО∙СВ+ВО∙АС=0 или (-СA+CO)CB-(OC+СВ)АC=CO∙CB-ОС∙AC=СО(СВ-СА)=СО-АВ=0, значит, СО АВ, т.е. высоты пере­секаются в одной точке.

17. В правильном треугольнике ABC со стороной равной 1, отрезок с концами Р и М на сторонах АВ и ВС пересекает отрезок ВК,точка К лежит на стороне АС. Найдите угол между прямыми ВК и РМ,если ВР: РА = 1: 2, ВМ: МС = 3: 1, АК: КС = 1: 2.

Решение. Воспользуемся алгоритмом вычисления угла между векторами:

1. Выразим векторы ВК и РМ через векторы ВА и ВС. ВК= ВС+ ВА; РМ=ВМ-ВР= ВС- ВА.

2. Найдем скалярное произведение этих векторов:

ВК∙РМ=( ВС+ ВА)( ВС- ВА)= BC²+ ВА∙СВ- ВА²= + - = .

3. Найдем длины этих векторов:

|BK|²=( BC+ BA)²= BC²+ BC∙BA+ BA²= |BC|²+ |BC|∙|BA|cos60°+ |BA|²= , |BK|= . Аналогично |РМ|²=( BC- BA)²= |BC|²- |BC|∙|BA|cos60°+ |BA|²= , |РМ|= .

4. cos (BK,PM)= : ∙ = .

18. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами А (1; 0), В (3; 3), С (-1; 2), D (3; 8) – трапеция.

Решение: Нужно показать, что две стороны параллельны: Получим что ВС и AD не параллельны, а AB||CD.

19. Докажите, что для любых а, b, с, d имеет место неравенство .

Решение: Рассмотрим векторы m(а;b, n(с;d). Заметим, что (m+n)(а+с;b+d), |m+n|= , |m|= , |n|= . Сумма векторов m иn равна m +n. По неравенству треу­гольника будем иметь: . Равенство достигается в случае, если векторы m и n коллинеарны.

20. При каком значении х векторы и коллинеарны, если (3- х; 4), (2; 4 +х).

Решение: Воспользуемся условием 3.5: для того, чтобы векторы были коллинеар­ны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны, т.е. или х ² + х - 6 = 0, откуда х = -3, х = 2. Ответ: х= —3 или х = 2.

21. Решите неравенство: .

Решение: Рассмотрим векторы а(6-х; 2), b(х-2; 1), с (4; 3). Заметим, что а + b=с, значит, по неравенству треугольника |а|+|b|≥|с|. Но | a|= , |b|= |с| = 5, и тогда . Следовательно, решением данного неравенства будут только те значения переменной, при которых выполняется равенство , т. е. | с|=|а|+|b |. Это равенство возможно, если векторы а,b, с коллинеарны (см. зада­чу 11). По необходимому и достаточному условию коллинеарности двух ненулевых векторов (см. 3.5) будем иметь , x= .

22. Даны три вектора . Найдите такие числа λ и μ, чтобы выполнялось векторное равенство .

Решение: : (-1,0)=λ(1,0)+μ(1,1). Отсюда получаем уравнения: -1=λ+μ, 0=0+μ. Отсюда μ=0, λ=-1.

23. Даны векторы и . Найдите абсолютную величину вектора -2 + 4 . Ответ: 10.

24. Найти угол между векторами и , если | |=4, |2 - 5 |=17, (3 + 2 ) = 42.

Решение: (3 +2 )(2a-3b)=42, или (3 +2 )(2a-3b)=6a∙a-9a∙b+4a∙b-6b∙b=6a²-5ab-6b²=42. Т.к. a²=|a|². 6∙16-5ab-6b²=42. 5ab+6b²=54. (1) Аналогично, |2 - 5 |=(2 -5 )(2 -5 )=289, Или 4a²-10ab-10ab+25b²=289, -4ab+5b²=45. (2) Решая уравнения (1) и (2) получаем, что ab=0, отсюда угол равен 90⁰.

25. Найдите длину диагонали АС ромба ABCD, у которого длины сторон равны 1 и угол BAD равен 30⁰.

Решение: АС=AB+AD, AC2=AB²+AD²+2AB∙AD, (AB,AD)=|AB||AD|cos30⁰= . AC²=2+2 =2+ . AC= .