Тема. Векторы

Вопросы:

Основные понятия.
Операции над векторами, их свойства.
Проекция вектора на ось.
Разложение вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора.
Модуль вектора. Действия над векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Некоторые приложения скалярного произведения.

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называют скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. это отрезок, имеющий определенную длину и направление. Если А начало вектора, а В – его конец, то вектор обозначают или . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называют противоположным вектору . Вектор противоположный вектору , обозначается - .

Длиной или модулем вектора называют длину отрезка и обозначают . Вектор, длина которого равна нулю, называют нулевым вектором и обозначают . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называют единичным вектором и обозначают .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называют ортом вектора и обозначают .

Векторы и называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают || . Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называют равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два коллинеарны, то такие векторы компланарны.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор = . От точки А отложим вектор = . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называют суммой векторов и ; обозначают .

Это правило сложения векторов называют правилом треугольников.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма.

Можно складывать несколько векторов, например, пусть требуется найти сумму векторов , , .

Возьмем произвольную точку О и построим вектор = . От точки А отложим вектор = . От точки В отложим вектор = . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом третьего, называют суммой векторов , и ; обозначают .

Под разностью векторов и понимают вектор такой, что . Начало вектора = совпадает с концом В вектора = , а конец – совпадает с концом вектора .

В параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая – разностью и .

Можно вычитать векторы по правилу: . Т.е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

Произведением вектора на скаляр (число) λ называют вектор λ· (или ·λ), который имеет длину |λ|·| |, коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если λ > 0, и противоположное направление, если λ < 0. Например, если дан вектор , то векторы 3 и -2 будут иметь вид

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если , то || . Наоборот, если || , ( ≠ 0), то при некотором λ верно равенство ;

2) всегда , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойства ми:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Пусть в пространстве задана ось l, т.е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось l называют основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось.

Если точка лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.

Пусть – произвольный вектор ( ≠ ). Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор .

Проекцией вектора на ось l называют положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число - , если вектор и ось l противоположно направлены. Если точки и совпадают, то проекция вектора равна 0.

Углом φ между вектором и осью (или угол между двумя векторами) называют угол между двумя направлениями. Очевидно, что .

Основные свойства проекций:

1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла φ между вектором и осью.

2. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.

3. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

4. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

5. При умножении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на это число.

Таким образом линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты),обозначаемые соответственно.

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: = . Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через , и . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . По правилу параллелепипеда = + + (*)

Поскольку , , ;

– проекция вектора на ось Ох, обозначим ее , – проекция вектора на ось Оy, обозначим ее , – проекция вектора на ось Оz, обозначим ее . Тогда формула (*) имеет вид:

(**)

Эта формула является основной в векторном исчислении и называют разложением вектора по ортам координатных осей.

Числа , и называют координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (**) часто записывают в символическом виде .

Равенство означает, что .

Зная проекции вектора на основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, можно найти выражение для модуля вектора: , т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Пусть даны векторы и .

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов (над координатами), то можно записать:

1. . То есть при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).

2. . То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора равны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты равны, т.е.

Если векторы заданы своими координатами, то векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz и произвольная точка М, то координаты вектора называют координатами точки М. Вектор называют радиус-ветором точки М и обозначают , т.е. = . Следовательно, координаты точки – это координаты ее радиус-вектора.

Пусть даны точки и . Зная, что координаты точки это координаты вектора и что , получаем , т.е. координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.