Тест на выбор «длинной» или «короткой» регрессии

Данный тест используется для отбора наиболее существенных объясняющих переменных. Например, переход от большого числа исходных показателей состояния анализируемой системы к меньшему числу наиболее информативных переменных может быть обусловлен дублированием информации, доставляемой сильно взаимосвязанными признаками или неинформативностью признаков, мало меняющихся при переходе от одного объекта к другому. Так, если две какие-либо объясняющие переменные сильно коррелированы с результирующим показателем и друг с другом, то часто бывает достаточно включения в модель одной из них, а дополнительным вкладом от включения другой можно пренебречь.

Пусть . Предположим, что модель не зависит от последних объясняющих переменных и их можно исключить из модели. Это соответствует гипотезе

т.е. последние коэффициентов равны .

Тест по проверке данной гипотезы состоит в следующем:

1. Построить по МНК «длинную» (unrestricted) регрессию по всем параметрам и найти для нее .

2. Используя МНК, построить «короткую» (restricted) регрессию по первым параметрам и найти для нее .

3. Вычислить F -статистику:

4. Найти критическую точку распределения Фишера при выбранном уровне значимости : .

5. Если , то гипотеза отвергается, т.е. следует использовать «длинную» модель.

Если , то гипотеза принимается, т.е. лучше «короткая» модель.

Пример 2. По данным, представленным в таблице, изучается зависимость индекса человеческого развития от переменных:

- ВВП 1997 г., % к 1990 г.;

- суточная калорийность питания населения, ккал на душу населения;

- ожидаемая продолжительность жизни при рождении 1997 г.,

число лет;

- расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП;

- расходы домашних хозяйств, % к ВВП;

- валовое накопление, % к ВВП.

Данные приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Страна
Австрия	0,904		77,0	75,5	56,1	25,2
Австралия	0,922		78,2	78,5	61,8	21,8
Белоруссия	0,763		68,0	78,4	59,1	25,7
Бельгия	0,923		77,2	77,7	63,3	17,8
Великобритания	0,918		77,2	84,4	64,1	15,9
Германия	0,906		77,2	75,9	57,0	22,4
Дания	0,905		75,7	76,0	50,7	20,6
Индия	0,545		62,6	67,5	57,1	25,2
Испания	0,894		78,0	78,2	62,0	20,7
Италия	0,900		78,2	78,1	61,8	17,5
Канада	0,932		79,0	78,6	58,6	19,7
Казахстан	0,740		67,6	84,0	71,7	18,5
Китай	0,701		69,8	59,2	48,0	42,4
Латвия	0,744		68,4	90,2	63,9	23,0
Нидерланды	0,921		77,9	72,8	59,1	20,2
Норвегия	0,927		78,1	67,7	47,5	25,2
Польша	0,802		72,5	82,6	65,3	22,4
Россия	0,747		66,6	74,4	53,2	22,7
США	0,927		76,7	83,3	67,9	18,1
Украина	0,721		68,8	83,7	61,7	20,1
Финляндия	0,913		76,8	73,8	52,9	17,3
Франция	0,918		78,1	79,2	59,9	16,8
Чехия	0,833	99,2	73,9	71,5	51,5	29,9
Швейцария	0,914		78,6	75,3	61,2	20,3
Швеция	0,923		78,5	79,0	53,1	14,1

Отчет по «длинной» регрессии приведен в таблице 3, а по «короткой» - представлен в таблице 4.

В результате посчитана F -статистика

Таблица 3a.

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		0.2375	0.0396	81.0051	4.86777E-12
Остаток		ESS_UR = 0.0088	0.0005
Итого		0.2463

Таблица 3б.

Коэффи-циенты	Стандарт-ная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
-0.63627	0.15485	-4.10892	0.00066	-0.96160	-0.31094
-0.00048	0.00023	-2.08803	0.05128	-0.00095	0.00000
0.00004	0.00002	2.11404	0.04873	0.00000	0.00009
0.01854	0.00159	11.65416	0.00000	0.01519	0.02188
0.00131	0.00146	0.89470	0.38276	-0.00176	0.00438
-0.00141	0.00123	-1.14140	0.26866	-0.00400	0.00118
0.00015	0.00139	0.10685	0.91609	-0.00277	0.00307

Таблица 4a.

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		0.2368	0.0789	174.7949	0.0000
Остаток		ESS_R = 0.0095	0.0005
Итого		0.2463

Таблица 4б.

Коэффи-циенты	Стандарт-ная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
-0.62115	0.06739	-9.21774	0.00000	-0.76128	-0.48101
-0.00054	0.00014	-3.69691	0.00134	-0.00084	-0.00023
0.00004	0.00002	2.24223	0.03587	0.00000	0.00008
0.01873	0.00128	14.63733	0.00000	0.01607	0.02139