Тест на выбор «длинной» или «короткой» регрессии

Данный тест используется для отбора наиболее существенных объясняющих переменных. Например, переход от большого числа исходных показателей состояния анализируемой системы к меньшему числу наиболее информативных переменных может быть обусловлен дублированием информации, доставляемой сильно взаимосвязанными признаками или неинформативностью признаков, мало меняющихся при переходе от одного объекта к другому. Так, если две какие-либо объясняющие переменные сильно коррелированы с результирующим показателем и друг с другом, то часто бывает достаточно включения в модель одной из них, а дополнительным вкладом от включения другой можно пренебречь.

Пусть . Предположим, что модель не зависит от последних объясняющих переменных и их можно исключить из модели. Это соответствует гипотезе

,

т.е. последние коэффициентов равны .

Тест по проверке данной гипотезы состоит в следующем:

1. Построить по МНК «длинную» (unrestricted) регрессию по всем параметрам и найти для нее .

2. Используя МНК, построить «короткую» (restricted) регрессию по первым параметрам и найти для нее .

3. Вычислить F -статистику:

4. Найти критическую точку распределения Фишера при выбранном уровне значимости : .

5. Если , то гипотеза отвергается, т.е. следует использовать «длинную» модель.

Если , то гипотеза принимается, т.е. лучше «короткая» модель.

Пример 2. По данным, представленным в таблице, изучается зависимость индекса человеческого развития от переменных:

- ВВП 1997 г., % к 1990 г.;

- суточная калорийность питания населения, ккал на душу населения;

- ожидаемая продолжительность жизни при рождении 1997 г.,

число лет;

- расходы на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП;

- расходы домашних хозяйств, % к ВВП;

- валовое накопление, % к ВВП.

Данные приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Страна
Австрия	0,904			77,0	75,5	56,1	25,2
Австралия	0,922			78,2	78,5	61,8	21,8
Белоруссия	0,763			68,0	78,4	59,1	25,7
Бельгия	0,923			77,2	77,7	63,3	17,8
Великобритания	0,918			77,2	84,4	64,1	15,9
Германия	0,906			77,2	75,9	57,0	22,4
Дания	0,905			75,7	76,0	50,7	20,6
Индия	0,545			62,6	67,5	57,1	25,2
Испания	0,894			78,0	78,2	62,0	20,7
Италия	0,900			78,2	78,1	61,8	17,5
Канада	0,932			79,0	78,6	58,6	19,7
Казахстан	0,740			67,6	84,0	71,7	18,5
Китай	0,701			69,8	59,2	48,0	42,4
Латвия	0,744			68,4	90,2	63,9	23,0
Нидерланды	0,921			77,9	72,8	59,1	20,2
Норвегия	0,927			78,1	67,7	47,5	25,2
Польша	0,802			72,5	82,6	65,3	22,4
Россия	0,747			66,6	74,4	53,2	22,7
США	0,927			76,7	83,3	67,9	18,1
Украина	0,721			68,8	83,7	61,7	20,1
Финляндия	0,913			76,8	73,8	52,9	17,3
Франция	0,918			78,1	79,2	59,9	16,8
Чехия	0,833	99,2		73,9	71,5	51,5	29,9
Швейцария	0,914			78,6	75,3	61,2	20,3
Швеция	0,923			78,5	79,0	53,1	14,1

Отчет по «длинной» регрессии приведен в таблице 3, а по «короткой» - представлен в таблице 4.

В результате посчитана F -статистика

Таблица 3a.

Таблица 3б.

	Коэффи-циенты	Стандарт-ная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
	-0.63627	0.15485	-4.10892	0.00066	-0.96160	-0.31094
	-0.00048	0.00023	-2.08803	0.05128	-0.00095	0.00000
	0.00004	0.00002	2.11404	0.04873	0.00000	0.00009
	0.01854	0.00159	11.65416	0.00000	0.01519	0.02188
	0.00131	0.00146	0.89470	0.38276	-0.00176	0.00438
	-0.00141	0.00123	-1.14140	0.26866	-0.00400	0.00118
	0.00015	0.00139	0.10685	0.91609	-0.00277	0.00307

Таблица 4a.

Таблица 4б.

	Коэффи-циенты	Стандарт-ная ошибка	t-стати-стика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
	-0.62115	0.06739	-9.21774	0.00000	-0.76128	-0.48101
	-0.00054	0.00014	-3.69691	0.00134	-0.00084	-0.00023
	0.00004	0.00002	2.24223	0.03587	0.00000	0.00008
	0.01873	0.00128	14.63733	0.00000	0.01607	0.02139

Табличное значение F-статистики находится следующим образом:

FРАСПОБР (0.05;3;18) = 3.1599[1]

Так как , то гипотеза принимается, и, следовательно, выбирается «короткая» модель:

.