Вектор-функция скалярного аргумента

Вектор-функция скалярного аргумента

Определение. Если каждому значению параметра из некоторого промежутка отвечает определенный вектор (зависящий от ), то вектор называется векторной функцией (кратко вектор-функция) от скалярного аргумента и в этом случае пишут:

. (1.1)

При изменении аргумента вектор изменяется как по величине, так и по направлению. В дальнейшем будем предполагать, что изменяется в промежутке, конечном или бесконечном.

Будем считать, что вектор исходит из начала координат, т.е. − радиус-вектор некоторой точки . В этом случае при изменении параметра конец вектора опишет линию , называемую годографом векторной функции . При этом начало координат называют полюсом годографа. Уравнение (1.1) называют векторным уравнением кривой (рис. 1.1).

Если у вектора меняется только модуль, то годографом его будет луч, исходящий из полюса. Если модуль вектора постоянен и меняется только его направление, то годограф есть линия, лежащая на сфере с центром в полюсе и радиусом, равным модулю вектора .

Рис. 1.1

Если через обозначить проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, то эти величины для каждого значения параметра в свою очередь принимают определенные числовые значения и поэтому являются скалярными функциями скалярного аргумента :

, , . (1.2)

И тогда

. (1.3)

Таким образом, задание векторной функции скалярного аргумента равносильно заданию трех скалярных функций того же аргумента. Т.к. уравнение (1.1) является уравнением некоторой кривой в пространстве, то ту же кривую задают уравнения (1.2). Уравнения (1.2) − обычные параметрические уравнения кривой в пространстве.

Пример. Рассмотрим кривую, заданную параметрически с помощью уравнений

, , .

Эта кривая называется винтовой линией. Ее векторное уравнение

.

При любом значении параметра . Это означает, что винтовая линия расположена на цилиндре . Отсюда следует, что, когда точка движется по винтовой линии, ее проекция на плоскости перемещается по окружности радиуса и с центром в начале координат, причем является полярным углом точки . Когда точка описывает полную окружность, аппликата точки винтовой линии увеличивается на . Эта величина называется шагом винтовой линии.

Вектор функция скалярного аргумента.

Отображение f: x→у – называется вектор-функцией скалярного аргумента если х принадлежит R, y принадлежит R. Для t принадлежащего х соответствующее значение ф-ции обозначается r=f(t). из определения следует, что задание одной вектор функции равносильно заданию n скалярных функций.

{X1= f1(t)

{X2=f2(t)

{X3=f3(t)

{Xn=fn(t)

Рассмотрим частный случай

{X=f(t)

{Y= (t) (1)

Величина t называется параметром, поэтому уравнение (1) параметрическими уравнениями плоской кривой. Если из уравнения (1) исключить параметр t, то приходим к уравнению плоской кривой в неявном виде F(x,y)= 0 (2), которое в некоторых случаях разрешить относительно Y, т.е. y=f(x) (3). Таким образом (1)-(3) различные формы записи уравнения плоской кривой.

Пример: установить, какая кривая задана следующими параметрическими уравнениями

{X=a cost=> cost = x/a

{Y=b sin t=> sin t= y/b

X^2/a^2 + y^2/b^2=1 получим неявное уравнение эллипса

Y=± b/a корень a^2-x^2