Касательная. Нормаль к плоской кривой

Пусть в ДСК задана гладкая кривая, определяемая вектором , . Будем считать, что отсчет дуги выбран так, что ее длина возрастает вместе с возрастанием параметра . Положим и .

Вектор имеет направление касательной к кривой в точке и поэтому произвольная точка касательной определяется вектором

, (1.15)

где − произвольное число (текущий параметр касательной) (рис. 1.3).

Равенство (1.15) − уравнение касательной к кривой в точке в векторной форме.

Из (1.15) следует, что уравнения касательной в декартовой системе координат имеют вид:

, ,

или

. (1.16)

Рис. 1.3

Обозначим через углы, которые образует положительное направление касательной соответственно с положительными направлениями осей координат :

,

,

,

где обозначает, что в нужно подставить значение соответствующее . Перед корнем стоит знак плюс, т.к. мы согласились, что длина дуги возрастает вместе с . − строго возрастающая функция, отображающая интервал изменения на некоторый интервал изменения .

Кривую, заданную в плоскости , можно рассматривать как частный случай кривой в пространстве, у которой . Поэтому соотношениям (1.16) в данном случае соответствует одно уравнение

.

Положительное направление касательной образует с осью угол , для которого

, .

В плоском случае можно определить понятие нормали в точке кривой, т.е. прямой, принадлежащей рассматриваемой плоскости и проходящей через точку перпендикулярно к касательной. Направление вектора нормали задается таким образом, чтобы вектор касательной

и вектор нормали образовали систему направленную так же как и система координат (рис 1.4,1.5).

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Для пространственной кривой вводится понятие нормальной плоскости − плоскость, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Так как плоскость перпендикулярна касательной, то направляющий вектор последней будет являться нормальным вектором плоскости. Поэтому уравнение касательной плоскости будет иметь вид:

. (1.17)