Вектор-функция

Пример. Дан радиус-вектор движущийся в пространстве точки ( - время, и - постоянные). Найти годографы скорости и ускорения.

Скорость движущейся точки вычисляется по формуле

Чтобы построить годограф положим, что

, это параметрическое задание винтовой линии, т.е. годограф − винтовая линия.

Найдем годограф ускорения

.

Следовательно, годограф линия заданная параметрически следующим образом , это параметрические задание окружности, т.е. годограф ускорения - окружность.

Пример. Дано . Найти производные

а) ; б) ; в)

а) Используем правило дифференцирования скалярного произведения

, т.к. , следовательно .

б) Аналогично примеру а) получаем

в) Используем правило дифференцирования векторного произведения

, тогда

т.к.

Пример. Найти радиус кривизны линии при .

Кривизна линии заданной векторно-параметрическим уравнением , где параметр – произвольный, определяется по формуле

, где ,

,

.

Вычислим векторное произведение

.

. Тогда , и . Следовательно, радиус кривизны равен .

Пример. Написать уравнение соприкасающейся плоскости в точке =0 кривой .

Векторное уравнение соприкасающейся плоскости к кривой в точке имеет следующий вид:

.

Найдем частные производные первого и второго порядка , .

Вычислим векторное произведение найденных функций и посчитаем его значение при :

,

Так как вектор равен: , то уравнение соприкасающейся плоскости имеет вид:

или .

Пример. Найти кручение в любой точке кривой .

Кручение кривой заданной вектор функцией определяется по следующей формуле:

.

, ,

.

, тогда

.