Предел, непрерывность, производная вектор-функции

1 2 3 4 5 6 7

Пусть вектор-функция определена в окрестности точки , кроме самой точки .

Вектор называется пределом векторной функции при (или в точке ), если

. (1.4)

Если есть предел функции при , то это записывается так

. (1.5)

Если записать векторную функцию и вектор в проекциях

то получим

. (1.6)

Тогда из равенства (1.4) следует, что

, , . (1.7)

Свойства вектор-функции:

1. Если , то .

2. .

3. , − скалярная функция.

5. .

Вектор-функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в точке , если .

Из равносильности (1.4) и (1.7) следует, что для того чтобы вектор-функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции .

Введем понятие производной векторной функции

. (1.8)

Предполагаем, что начало вектора находится в начале системе координат (рис.1.2).

Рис. 1.2

Возьмем фиксированное значение параметра, соответствующее какой-либо точке определенной точке на кривой, заданной уравнением (1.8), и дадим параметру приращение . Тогда получим вектор:

который определяет некоторую точку . Найдем приращение вектора:

(1.9)

На рисунке, где , . Вектор приращения определяется вектором .

Рассмотрим отношение приращения вектор-функции к приращению скалярного аргумента; это есть вектор коллинеарный с вектором . При этом вектор в сторону, соответствующую возрастанию параметра .

Далее с учетом (1.9) вектор можно представить в виде

.(1.10)

Если функции имеют производные при выбранном значении параметра , то множители при в равенстве (1.10) в пределе при обратятся в производные .

Значит, .

Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора по скалярному аргументу . Ее обозначают или . Итак,

. (1.11)

Выясним направление вектора . Заметим, что при точка стремится к точке и поэтому секущая стремится к касательной в точке . Отсюда, производная является вектором, касательным к годографу вектор-функции , направленным в сторону, соответствующую возрастанию параметра .