Кривизна, радиус кривизны, кручение кривой

Кривизной окружности радиуса называется число . Это число можно получить как отношение угла между касательными в концах какой-либо дуги окружности к длине этой дуги.

Последнее утверждение дает возможность определения кривизны для произвольной гладкой кривой.

Рассмотрим гладкую кривую . Угол называется углом смежности дуги . Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Кривизной кривой в ее точке называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности дуги кривой к ее длине , когда последняя стремится к нулю

. (1.18)

Таким образом . По определению, величина называется радиусом кривизны в точке .

Угол смежности дуги равен углу между векторами и . Из векторной алгебры известно, что

. (1.19)

Знаменатель в выражении (1.19) не равен нулю. Поэтому при знаменатель стремится к , а числитель стремится к нулю.

Будем теперь предполагать, что радиус−вектор кривой имеет вторую производную , и при этом условии докажем существование конечной кривизны в точке .

В силу (1.18), (1.19) кривизна в точке равна

, (1.20)

. (1.21)

Кручением кривой называется величина равная

. (1.22)