Пусть мы имеем прямоугольную систему координат в пространстве.
Если вместе с вектором , имеющим произвольную длину, рассмотреть вектор, имеющий единичную длину, но направленный так же, как вектор , то этот вектор называется ортом вектора и обозначается, например, . Отсюда следует, что .
Обозначим единичные векторы (орты) осей Ox, Oy, Oz соответственно через причем .
Разложим произвольный вектор трехмерного пространства по ортам. Для этого построим вектор , равный вектору . Из точки М опустим перпендикуляр на плоскость хOу. Из основания этого перпендикуляра (точка А) опустим перпендикуляры на оси координат Ох и Оу и соединим точку А с началом О. На векторах и построим прямоугольник ОАММ3, диагональю которого будет вектор . Из рис. 1.7 видно, что или .
Рис. 1.7
Векторы , , называются составляющими вектора .
Координаты точек являются координатами вектора.
Можно сказать, что координатами вектора являются его проекции на оси координат.
Составляющие вектора можно выразить через его проекции (координаты):
|
|
Подставляя эти значения в равенство и обозначив через получим:
(1.4.1)
Равенство (1.4.1) можно записать в виде:
(1.4.2)
Замечание 1. Равные векторы имеют одинаковые координаты.
Замечание 2. Разложение вектора в виде (1.4.1) возможно только единственным способом.
Из единственности разложения (1.4.1) вектора по ортам, следует, что если координаты любых двух векторов и равны, т.е. , то эти векторы тоже равны.
Вектор , идущий от начала точки О к точке называется радиус - вектором этой точки, и его координаты совпадают с соответствующими координатами точки (рис. 1.8)
Рис. 1.8
Поэтому , или . Пусть - вектор, координаты начала и конца которого известны и . Тогда координаты вектора выражаются по формулам:
(1.4.3)
Из рис. 1.9 видно, что
(1.4.4)
Рис. 1.9
Используя свойства проекций (п.1.2.), имеем: , и аналогичным образом находим .
Разложение вектора по ортам будет иметь следующий вид:
(1.4.5)
Тройка векторов называется координатным базисом, а разложение (1.4.1) вектора называется разложением вектора по базису .
Замечание. Разложение вектора на плоскости по базису имеет вид .
1.5. Операции над векторами, заданными
в координатной форме
Если векторы заданы в координатной форме, то операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число можно заменить более простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по следующим правилам.
Правило 1. При сложении векторов их одноименные координаты складываются:
, ,
(1.5.1)
Правило 2. Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно вычест координаты вектора из соответствующих координат вектора , т.е.
|
|
или (1.5.2)
Правило 3. Чтобы умножить вектор на число , нужно умножить на это число его координаты, т.е. если , то .