Соответствие. Функция

Соответствие между множествами А и В – это множество, представляющее собой некоторое подмножество их декартова произведения

.

Полное соответствие между множествами А и В – это множество, равное их декартовому произведению

.

Если то говорят, что соответствует в соответствии , ( или они находятся в соответствии Р).Обозначается: или , , .

Соответствие предполагает, что некоторым элементам множества A (возможно, всем) поставлены в соответствие некоторые элементы множества B.

Соответствие, как и декартово произведение, можно изобразить графически в виде решетки или в виде векторной диаграммы. В узлах решетки оказываются соответствующие пары элементов декартова произведения.

Пусть имеются множества и . Декартово произведение будет представлять собой следующую последовательность

.

Из нее можно взять любые компоненты, которые и будут представлять собой соответствие из А в В, например

, , .

График соответствия для данных множеств представлен на рис. 2.2.

В виде векторной диаграммы соответствия представлены на рис. 2.3.

Образ элемента в множестве при соответствии – множество всех , соответствующих элементу . Обозначается .

Прообраз элемента в множестве при соответствии – множество всех , соответствующих элементу . Обозначается . Таким образом, если , то образ , а – прообраз .

Область определения соответствия Р (обозначается или ) – множество таких , для которых существует образ.

Область значений соответствия Р (обозначается или ) – множество таких , для которых существует прообраз.

Всюду определенное соответствие – соответствие, при котором выполняется равенство . В противном случае соответствие называется частичным.

Сюръективное соответствие (сюръекция) – соответствие, при котором выполняется равенство .

Инъективное соответствие (инъекция) – соответствие , при котором прообразом любого элемента из множества является единственный элемент из множества (соответствие не содержит пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами).

Функциональное соответствие (функция) – соответствие , при котором образом любого элемента из множества является единственный элемент из множества (соответствие не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами).

Взаимнооднозначное соответствие – соответствие, которое функционально и инъективно, то есть или .

Биекция (1-1 соответствие) – соответствие, которое всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Отображение в – соответствие, которое всюду определено и функционально.

Отображение на – соответствие, которое всюду определено, функционально и сюръективно.

Равномощные множества – множества, между которыми можно установить биекцию.

Счетное множество – множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Континуальное множество – множество, равномощное множеству действительных чисел отрезка .