Уравнения математической физики

В разделе рассматриваются следующие задачи: определение типа дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, приведение его к каноническому виду, решение дифференциальных уравнений с частными производными.

Задача 1. Определить тип дифференциального уравнения

а) ;

б) ;

в) .

Решение. Тип дифференциального уравнения вида

где , , - функции от и , определяется следующим образом. Уравнение имеет (см. (2.1))

гиперболический тип, если ,

параболический тип, если ,

эллиптический тип, если .

Рассмотрим случай а): , , , , значит это уравнение параболического типа.

В случае б) , , , , значит это уравнение эллиптического типа.

В случае в) , , , .

Выражение при ; при ; при . В соответствии с этим получаем в указанных областях уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно.

Задача 2. Привести к каноническому виду уравнение

Решение. Определим тип уравнения:

, , , , значит это уравнение гиперболического типа (см.(2.1)). Составим характеристическое уравнение (2.2):

Найдем его характеристики. Разделив обе части этого уравнения на , получим квадратное относительно уравнение

,или .

Решения квадратного уравнения , - дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Но тогда справедливы равенства

, .

Записав их в неявном виде, получим общие интегралы соответствующих дифференциальных уравнений. Это и есть характеристики. Таким образом, дифференциальное уравнение гиперболического типа имеет два семейства действительных и различных характеристик:

и .

Если теперь в исходном дифференциальном уравнении с частными производными перейти к новым переменным

и ,

то уравнение примет более простую по сравнению с исходной форму – канонический вид. Для гиперболического типа канонический вид выглядит так (2.3):

Конкретизируем его с учетом данных задачи. Так как производные первого порядка от и - константы:

, , , ,

то все производные от и второго порядка равны . Тогда согласно формулам (2.7)

, ,

, , .

Подставляя найденные выражения в исходное уравнение, получим

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, приходим к уравнению

,или .

Сравнивая с (2.3), убеждаемся, что получен канонический вид уравнения.

Задача 3. Привести к каноническому виду уравнение

Решение. Это уравнение параболического типа (см. задачу 9а)). Его характеристическое уравнение имеет вид

,или .

Решаем его: , , .

Записав это решение в неявном виде (в виде общего интеграла), получаем одно семейство действительных характеристик

Выбираем новые переменные. Полагаем , а в качестве берем достаточно простую функцию (например, ), не зависимую от . Последнее означает, что (см. (2.5))

Для и это условие выполняется: .

Делаем замену переменных в исходном уравнении. Так как , , , , производные второго порядка от и равны . Тогда с учетом (2.7)

, , .

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение

После преобразований приходим к каноническому уравнению

что соответствует каноническому виду уравнения параболического типа (2.5):

Задача 4. Привести к каноническому виду уравнение

Решение. Это уравнение эллиптического типа (см. задачу 9б)). Его характеристическое уравнение имеет вид:

, или .

Решая последнее уравнение, получим

, .

Общий интеграл имеет вид

что соответствует двум семействам комплексно сопряженных характеристик (с учетом знака). Для приведения исходного уравнения к каноническому виду в качестве новых переменных и следует взять (см. (2.6)) действительную и мнимую части выражения

а именно: , .

Вычисляем необходимые для подстановки производные:

, , , , .

Согласно (2.7) имеем

, , , .

Подставляя полученные выражения в исходное уравнение, приходим к каноническому виду:

или , или ,

что соответствует общему случаю (2.6):

Задача 5. Среди представленных функций найти решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие условию :

а) ; б) ;в) ;

г) ; д) .

Решение. Проверим сначала, какие функции удовлетворяют условию :

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Итак, условие выполняется в случаях б), г) и д).

Находим для каждой функции:

б) , ;

г) , ;

д) , .

Таким образом, две функции (б и г) являются решениями дифференциального уравнения.

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Так как , дифференциальное уравнение можно записать следующим образом

и найти интегрированием по :

Здесь - произвольная функция, появляется из-за того, что неопределенный интеграл вычисляется с точностью до константы, но при интегрировании по в роли константы выступает величина .

Последнее равенство интегрируем по и получаем искомую функцию :

где ; - произвольная функция, появляется при интегрировании по , когда играет роль константы. Итак,

Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. , поэтому уравнение запишется так: .

Интегрируем это равенство дважды по :

где и - две произвольные функции, появляются при интегрировании по , когда выступает в роли константы.

Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Согласно формулам (2.1) вычисляем

и делаем вывод, что исходное уравнение гиперболического типа. Его характеристическое уравнение

рассмотренное в задаче 2, имеет два семейства характеристик:

и ,

значит канонический вид можно получить сделав замену

и .

Подставив полученные в задаче 2 выражения для производных в исходное уравнение, получим:

или , откуда .

Заметим, что если исходное уравнение имеет вид (2.8)

где , причем (гиперболическое), то с помощью указанной замены переменных оно приводится к каноническому виду

Решаем последнее уравнение. Его можно записать так: . Но если производная от какой-либо функции равна , то эта функция - константа, т.е. ( при этом выступает в роли константы). Теперь интегрируем по (константой является ):

Здесь и - две произвольные функции. Подставляя в полученное равенство найденные ранее и , окончательно получаем

Задача 9. Решить задачу Коши для волнового уравнения , , , при и найти .

Решение. Воспользуемся формулой Даламбера (2.9):

где , . Так как , , , получим

Тогда .

Задача 10. Решить смешанную задачу для волнового уравнения , , , , , при и определить закон движения точки с абсциссой .

Решение. Решение смешанной задачи для волнового уравнения имеет вид (2.10):

где , , , .

Согласно условиям задачи , но тогда при любом .

Найдем . Поскольку , , значит

Обозначив последний интеграл , рассмотрим два случая: и . Если , то:

При возвращаемся к интегралу, так как последние выражения, содержащие в знаменателе, в этом случае не существуют. Получаем

Итак, для всех , кроме , а . Но тогда решение представляет собой не бесконечную сумму, а лишь одно слагаемое, соответствующее :

Осталось подставить в это выражение :

Задача 11. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности , , , и найти решение при , , .

Решение. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности имеет вид (2.11):

где , .

Так как , . Найдем .

Обозначив последний интеграл , рассмотрим два случая: и .

Если , то

При предыдущее выражение, содержащее в знаменателе, не существует, поэтому возвращаемся к интегралу. Получаем

Таким образом, для всех , а . Но тогда решение представляет собой не бесконечную сумму, а лишь одно слагаемое, соответствующее , и равно

При , это решение принимает вид:

Задача 12. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности бесконечного стержня: , , и найти решение при , , .

Решение. Решение находим по формуле (2.12), называемой интегралом Пуассона:

где .

Так как , то .

Подставив , , , получим

Полученный результат можно представить с помощью функции Лапласа

следующим образом: (таблица значений функции Лапласа приводятся во многих учебниках – см., например, В.Е.Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике).

Задача 13. Найти стационарное распределение температуры в тонкой пластине, имеющей форму кольца, ограниченного окружностями радиусов 2 и 3, с граничными условиями , .