Классификация уравнений в частных производных второго порядка

Квазилинейные уравнения 2-ого порядка бывают 3 видов:

– третий порядок.

1) гиперболическая

2) параболическая

3) эллиптическая

– дискриминант квазилинейного уравнения.

1) Если для любой точки , то исходное уравнение принадлежит гиперболическому типу в области D.

2) Если для любой точки , то исходное уравнение принадлежит параболическому типу в области D.

3) Если для любой точки , то исходное уравнение принадлежит эллиптическому типу в области D.

Приведение к каноническому виду уравнение 2-ого порядка с двумя независимыми переменными. Смысл приведения данного уравнения в частной производной к канонической форме (нормальной) состоит в том, что уравнение, приведенное к простому виду, т.ч. посл. решение данного уравнения сводится к простому (не сложн). Чтобы привести к каноническому виду квазилинейные дифференциальные уравнения в частной производной

и , чтобы исходное уравнение стало как можно проще.

по теореме о замене переменных в функции многих переменных, аналогично , тогда

– 2 производная

Подставим найденные производные в исходное уравнение. Получим уравнение:

,

где ,

,

.

На самом деле в следующий раз мы покажем, что если исходное уравнение гиперболическое, то замену переменных и можно выбрать так, что , а и тогда канонический вид гиперболического уравнения будет:

2) Если исходное уравнение параболическое, то замену переменных и можно выбрать так, что либо , а , либо , а и канонический вид параболического уравнения будет

3) Если уравнение эллиптическое, то ξ и η можно выбрать так, что , а и канонический вид