Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Задание 13. Точки разрыва функции, их классификация – 2 ч




Цель: формирование умения вычислять односторонние пределы, находить точки разрыва функции и классифицировать их.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&13.1.Выучите определения односторонних пределов функции в точке и проанализируйте, как они вычисляются.

?13.2. Вычислите односторонние пределы функции в указанной точке:

а) б) ;
в)  

&13.3.Выучите определения непрерывной в точке и на отрезке функции, точки разрыва функции. Изучите классификацию точек разрыва функции. Выясните, какая техника позволяет находить и классифицировать точки разрыва функции.

?13.4. Найдите точки разрыва и определите их род для функции, заданной графически:

а)

б)

г)
в)

¶13.5. Исследуйте функцию на непрерывность в указанных точках. Если точка является точкой разрыва функции, определите ее род:

а) ,

б) ,

?13.6. Найдите и классифицируйте точки разрыва для функции:

а) = ;   б) =
в) =  

¶ 13.7. Выясните, при каком значении параметра функция = будет непрерывной на всей области определения.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции одним из главных умений является умение вычислять односторонние пределы функции: левосторонний и правосторонний.

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только слева от точки хо, то такой предел называется левосторонним и обозначается .

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только справа от точки хо, то такой предел называется правосторонним и обозначается .

Функция имеет в точке единый предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правосторонний, так и левосторонний пределы, и они равны.

Пример 1. Вычислите односторонние пределы функции

в точке .

Решение. Для нахождения левостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при <-2 наша функция задается формулой . Таким образом, получим: .

При нахождении правостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, большие -2. Но при > -2 наша функция задается формулой . Таким образом, получим: .

Ответ =2, =0.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке хо, если она определена в ней, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .

Функция у=f(x) называется непрерывной на промежутке (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции (основные элементарные и полученные из них путем выполнения конечного числа арифметических операций или составления сложных функций) непрерывны на области определения.




Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва хо называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е. и . Если А1 = А2, то точка хо называется точкой устранимого разрыва.

Точка разрыва хо называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен бесконечности.

Пример 2. Найдите точки разрыва и определите их род

1
х
у
0
1
2
·
у=g(x)
для функции , заданной графически:

Решение: Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют и конечны. Следовательно, точка является точкой разрыва I рода функции. Поскольку односторонние пределы не равны друг другу, точка будет точкой устранимого разрыва.

1
х
у
0
1
2
у=f(x)
Ответ: - точка разрыва функции I рода (точка устранимого разрыва).

Пример 3. Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:

Решение: Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют , и оба равны бесконечности. Следовательно, точка является точкой разрыва II рода функции.



Ответ: - точка разрыва функции II рода.

Если функция задана аналитически, для нахождения и классификации ее точек разрыва удобно использовать следующую технику:

1) выясните, является ли функция элементарной (если да, то она непрерывна на своей области определения);

2) найдите область определения функции и исследуйте на разрыв точки, не принадлежащие ей (но находящиеся внутри области); если перед Вами – функция – скобка, обратите внимание на повторяющуюся в способе задания точку;

3) найдите односторонние пределы функции в каждой из таких точек и в зависимости от этого классифицируйте разрыв (если односторонние пределы существуют и конечны, в точке - разрыв I рода; если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, в точке – разрыв II рода).

Пример 4. Найдите точки разрыва функции у= и определите их род.

Решение. Функция у= является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.

Найдем D(у): х2-1≠0; х≠1 и х≠-1. Получили, что точки и являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем односторонние пределы функции в указанных точках.

Для точки , следовательно, - точка разрыва II рода.

Для точки ,

. Следовательно, - точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то – точка устранимого разрыва. Положив у= при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Ответ: - точка разрыва функции II рода,

- точка разрыва функции I рода.

Пример 5. Найдите точки разрыва функции у= и определите их род.

Решение. Функция у= состоит из двух частей: у=х-1 (при ) и у=2-х (при ). Функции у=х-1 и у=2-х являются элементарными, непрерывными на множестве R.

Имеет ли функция у= разрыв? Она определена во всех точках отрезка [-1; 4]. Найдем односторонние пределы данной функции в точке .

Левосторонний предел: .

Правосторонний предел: .

 
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции конечны, то – точка разрыва I рода.

Ответ: – точка разрыва функции I рода.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 5, §5.4, стр. 106 – 110.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 6, § 32, стр. 199-204.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §2, стр. 186 – 190.





Дата добавления: 2015-04-01; просмотров: 998; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась - это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8331 - | 7953 - или читать все...

Читайте также:

  1. FПодсказка. Посмотри задание А10, чтобы вспомнить признаки причастия и спряжения глаголов
  2. I часть. Построение. Рассчитать класс на первый-второй и объяснить задание
  3. I. Выполнение письменного задания (реферата). В процессе изучения дисциплины «Корпоративные финансы» студенты выполняют письменное задание − реферат
  4. I. Изучающее чтение. (40 мин) Направлено на формирование компетенции ОК-5. Задание 1. Изучить новые слова
  5. I. Оргмомент. 1.Развитие зрительного восприятия С задание 1
  6. I. Решите практическое задание
  7. I.2.2. Классификация фирм
  8. II. Основная часть занятия. 1. Сравнение букв, сходных по начертанию (задание 1
  9. II. Основная часть занятия. 1.Работа со словами-паронимами С задание 6
  10. II. Основная часть занятия. 1.Сравнение букв по начертанию (задание 1
  11. II. Основная часть. 1. Дифференииаиия букв занятия на уровне слова (задание 3
  12. II. Основная часть. 1. Закрепление знаний о словах-синонимах (задание 4


 

34.204.189.171 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.006 сек.