2015-07-04
4722
Определение. Расстоянием от точки М до плоскости α является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость α.
Рис.12
Теорема V. Расстояние от точки М0(x0 ; y0 ;z0) до плоскости α, заданной уравнением общего вида: α: Ах+Ву+Сz+D=0, вычисляется по
формуле: 
.
Доказательство.
Пусть в прямоугольной системе координат задана плоскость α: Ах+Ву+Сz+D=0 и т. М0(x0; y0; z0), не лежащая в этой плоскости. Вычислим расстояние от точки Мо до плоскости α. Заметим,что 
=> 
|| 
, где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на плоскость α, координаты которой Н(xH; yH; zH).(Рис.12)
Тогда 
.
Откуда следует, что ρ(М0,α) = ǀНМǀ= ǀ(, )ǀ/ǀ ǀ. Учитывая, что(, )= А(xH-x0) +B(yH-y0)+C(zH-z0); 
и так как точка Н лежит в плоскости α, то есть АхН + ВуН + СzН + D=0, получаем:
|
|
(13)
