Определение. Расстоянием от точки М до плоскости α является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость α.
Рис.12
Теорема V. Расстояние от точки М0(x0 ; y0 ;z0) до плоскости α, заданной уравнением общего вида: α: Ах+Ву+Сz+D=0, вычисляется по
формуле: .
Доказательство.
Пусть в прямоугольной системе координат задана плоскость α: Ах+Ву+Сz+D=0 и т. М0(x0; y0; z0), не лежащая в этой плоскости. Вычислим расстояние от точки Мо до плоскости α. Заметим,что => || , где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на плоскость α, координаты которой Н(xH; yH; zH).(Рис.12)
Тогда .
Откуда следует, что ρ(М0,α) = ǀНМǀ= ǀ(, )ǀ/ǀ ǀ. Учитывая, что(, )= А(xH-x0) +B(yH-y0)+C(zH-z0); и так как точка Н лежит в плоскости α, то есть АхН + ВуН + СzН + D=0, получаем:
(13)