Расстояние от точки до плоскости

Определение. Расстоянием от точки М до плоскости α является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость α.

Рис.12

Теорема V. Расстояние от точки М₀(x₀ ; y₀ ;z₀) до плоскости α, заданной уравнением общего вида: α: Ах+Ву+Сz+D=0, вычисляется по

формуле: .

Доказательство.

Пусть в прямоугольной системе координат задана плоскость α: Ах+Ву+Сz+D=0 и т. М₀(x₀; y₀; z₀), не лежащая в этой плоскости. Вычислим расстояние от точки М_о до плоскости α. Заметим,что => || , где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М₀ на плоскость α, координаты которой Н(x_H; y_H; z_H).(Рис.12)

Тогда .

Откуда следует, что ρ(М₀,α) = ǀНМǀ= ǀ(, )ǀ/ǀ ǀ. Учитывая, что(, )= А(x_H-x₀) +B(y_H-y₀)+C(z_H-z₀); и так как точка Н лежит в плоскости α, то есть Ах_Н + Ву_Н + Сz_Н + D=0, получаем:

(13)