Расположение плоскости относительно системы координат

Напомним, что если аффинной системе координат задана плоскость α уравнением Ax+By+Cz+D=0 и вектор , то для того, чтобы вектор был параллелен плоскости α, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (7) .

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости α.

1) Пусть D=0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ах+Ву+Сz=0. => плоскость проходит через начало координат.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
D=0	Аx+By+Cz=0	О(0;0;0) α

2) Пусть А=0, В≠0, С≠0 D≠0. Уравнение плоскости α будет иметь вид By+Cz+D=0. По теореме о параллельности вектора и плоскости, вектор

‖ (Ох) => α ‖ (Ох).

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0	By+Cz+D=0 ‖ α	α ‖ (Ох)

3) Пусть А≠0, В=0, С≠0, D≠0. Уравнение плоскости имеет Ах+Сz+ D =0.

В этом случае || α, поэтому α || Оу.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
B=0	Аx+Cz+D=0 ‖ α	α ‖ (Оy)

4) А≠0, В≠0, С=0, D≠0. Уравнение плоскости имеет вид Ах+Ву+D=0. В этом случае || α, поэтому α || Оz.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
C=0	Аx+By+D=0 ‖ α	α ‖ (Оz)

5) Пусть А=0, В≠0, С≠0 D=0. Уравнение плоскости имеет вид By+Cz=0 В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ву+Сz=0 и вектор параллелен плоскости α. => Плоскость проходит через начало координат и параллельна оси Ох. => Плоскость проходит через ось Ох.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,D=0	Аx+By=0 О(0;0;0) α ‖ α	(Ох) α

6) Пусть А≠0, В=0, С≠0, D=0. Уравнение плоскости имеет Ах+Сz =0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ах+Сz=0 и вектор параллелен плоскости α. => Плоскость проходит через начало координат и параллельна оси Оу. => Плоскость проходит через ось Оу.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
B=0,D=0	Ax+Cz=0 О(0;0;0) α ‖ α	(Оy) α

7) Пусть А≠0, В≠0, С=0, D=0. Уравнение плоскости имеет вид Ах+Ву=0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ах+Ву=0 и вектор параллелен плоскости α. => Плоскость проходит через начало координат и параллельна оси Оz. => Плоскость проходит через ось Оz.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
C=0,D=0	Аx+By=0 О(0;0;0) α ‖ α	(Оz) α

8) Пусть А=0, В=0, С≠0 D≠0. Уравнение имеет Сz+D=0,тогда векторы и параллельны плоскости α => плоскость α |параллельна плоскости Оху. Если D≠0, то уравнение можно привести к виду z =N, где N≠0.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,B=0	Cz+D=0 ‖ α ‖ α	α ‖ (xОy)

9) Пусть А=0, В≠0, С=0 D≠0. Уравнение имеет ,тогда векторы и параллельны плоскости α. => α || (уОz). Если D≠0, то уравнение можно привести к виду у = N, N≠0.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,С=0	Ву+D=0 ‖ α ‖ α	α ‖ (xОz)

10) Пусть А≠0, В=0, С=0 D ≠ 0. Уравнение имеет Ax +D = 0, тогда векторы и параллельны плоскости α => плоскость α || (Охz). Если D≠0, то уравнение можно привести к виду x = N, N≠0.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,B=0	Cz+D=0 ‖ α ‖ α	α ‖ (xОy)

11) Пусть А≠0, В=0, С=0 D=0. Уравнение имеет Ах=0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α Ах=0 => О ϵ ɑ, так как В=0 и С=0 => α = Оуz.

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
B=0,C=0, D=0	Аx=0 => x=0 О(0;0;0) α ‖ α ‖ α	α = (yОz)

12) Пусть А=0, В=0, С≠0 D = 0. Уравнение имеет Сz=0, тогда векторы и параллельны плоскости α и координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α => плоскость α = (Оху).

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,B=0,D=0	Cz=0 => z=0 О(0;0;0) α ‖ α ‖ α	α = (xОy)

13) Пусть А≠0, В=0, С=0 D = 0. Уравнение имеет Ax=0, тогда векторы и параллельны плоскости α и координаты начала системы координат О(0;0;0) удовлетворяют уравнению плоскости α => плоскость α = (Охz).

Условие	Уравнение плоскости α	Расположение плоскости α	Чертёж
A=0,C=0, D=0	By=0 => y=0 О(0;0;0) α ‖ α ‖ α	α = (xОz)