2015-07-04
1595
а). Уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором.
Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор параллельный этой прямой.
Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, которые коллинеарны между собой. Пусть в пространстве дана точка М0 и вектор 
. Через точку М0 в пространстве так же как и на плоскости можно провести единственную прямую. Составим уравнение этой прямой.
Дано:
R=(О, 
). 
ǀǀ ℓ
М0(x0;y0;z0) 
ℓ.
Cоставить уравнение ℓ. Рис.14
Решение.
Возьмём произвольную точку М(x;y;z), принадлежащую прямой ℓ.
Очевидно, что М0(x0;y0;z0) ℓ <=> 
. Если векторы коллинеарны, то координаты этих векторов пропорциональны. Таким образом:
|
(16)
(16) ─ уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором. В записи этих уравнений содержится два знака равенства, поэтому это не одно уравнение, а краткая запись системы двух уравнений:
.
В этих уравнениях x0, y0,z0 ─ координаты данной точки М0, принадлежащей прямой, р1, р2, р3 ─ координаты направляющего вектора прямой, а x, y и z ─ координаты текущей (любой точки) прямой. Уравнения (16) называют каноническими уравнениями прямой ℓ.
|
|
|
Если одна из координат направляющего вектора 
равна 0, например 
=0, то уравнения прямой принимают вид:
.
Если 
, то уравнения прямой принимают вид 
.
В этом случае прямая ℓ || (Ох) (если хотя одно из чисел y0, z0 не рано 0) или ℓ = (Ох),если 
.
б) Параметрические уравнения прямой.
Пусть в аффинной системе координат прямая ℓ задана точкой М0(x0;y0;z0) и направляющим вектором 
. В этом случае векторы 
и 
коллинеарны. Отсюда следует что существует такое число t, что 
. Таким образом,
=> 
(17)
Эти равенства (17) называются параметрическими уравнениями прямой. Здесь t ─ параметр. Его смысл заключается в том, что для любого действительно числа t точка с координатами (х,у,z), удовлетворяющая условиям (17) лежит на прямой ℓ. Обратно, если (х,у,z) – точка прямой ℓ, то всегда найдется такое число t, что х, у и z выражаются через х0, у0 и z0, р1, р2 и р3 при помощи равенств (17).
