double arrow

Взаимное расположение двух плоскостей.

Теорема IV. Пусть в некоторой аффинной системе координат даны плоскости α: А1 х+В1 у+С1 z+D1 =0 и β: А2 х+В2 у+С2 z+D2 =0. Тогда:

1) α = β <= > А1, В1, С1, D1 и А2, В2, С2, D2 - пропорциональны, то есть: ,

2) α ‖ β <= >

3) α ∩ β ≠ Ø <= > А1, В1, С1, D1 и А2, В2, С2, D2 - не пропорциональны.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть для плоскостей α и β выполнено условие =λ или А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λ С2; D1= λ D2. Это означает, что уравнение плоскости α можно записать в виде: λ(А2 х+В2+ у+С2z+D2) =0<=> любая точка плоскости β принадлежит плоскости α то есть эти плоскости совпадают.

Достаточность.

Пусть α = β = > векторы нормали плоскостей α и β коллинеарны, то есть А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λ С2. Это означает, что уравнение плоскости α можно записать в виде: λ(А2 х+В2 у+С2z)+D1 =0. = > D1 = - λ(А2 х+В2 у+С2z) = λD2 = > А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λ С2; D1= λ D2.

2) Необходимость.

Пусть для плоскостей α и β выполнено условие . В этом случае векторы нормали плоскостей α и β коллинеарны, а значит плоскости α и β параллельны, но не совпадают, так как для совпадения плоскостей α и β необходимо и достаточно, что бы .

Достаточность.

Пусть α ‖ β. = > что векторы нормали и коллинеарны, а это значит, что А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λС2, но D1≠ λD2так α ≠ β.

3) Необходимость.

Пусть α ∩ β ≠ Ø. = > что векторы нормали не коллинеарны, а это значит, что А1, В1, С1 и А2, В2, С2 - не пропорциональны.

Достаточность.

Пусть А1, В1, С и А2, В2, С2 - не пропорциональны. = > что векторы нормали неколлинеарны, а это значит, что > А1, В1, С1, 1 и А2, В2, С2, - не пропорциональны.

Лекция №3

4.Геометрический смысл знака многочлена Ах+Ву+Сz+D.

Теорема III. Если в аффинной системе координат дана плоскость α: Ах+Ву+Сz+D=0, и точка М1(x1;y1;z1),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ Сz1+D > 0, то точка М1 лежит по одну сторону от плоскости α с концом вектора , если его начало приложить к некоторой точке плоскости. Если координаты и точки М1(x1;y1;z1) удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ Сz1+D< 0, то точка М1 с концом вектора лежит по разные стороны от плоскости α, если начало вектора приложить к некоторой точке плоскости.

Доказательство.

Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор не параллелен плоскости α. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора плоскости α: А2 + В2 + С2 ≠ 0.

Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О ) и дан многочлен Ах+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М1, то значением этого многочлена буде некоторое число δ. Возможны следующие случаи: .

В случае б) точка М1 принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М1 в двух остальных случаях.

Проведём через точку М1 прямую М1Н параллельно вектору , Тогда так как , то =λ· => хН - х1 = λА; уН - у1 = λВ; zН - z1 = = λС. => х1 = λА + хН ; у1 = λВ + уН ; z1 = λС + zН (13)

Подставив выражения для x1; y1 и z1 в многочлен Ax + By + Cz + D, получаем: δ = Ax1 + By1 + Cz 1+ D = λ(А2 + В2 +C2) + AxH + ByH + CzH + D.

Так как точка Н принадлежит плоскости α, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А2 + В2 +C2). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака λ. => Если λ > 0, то вектор и вектор сонаправлены и их концы расположены по одну сторону от плоскости α. Если λ < 0, то вектор и вектор противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны от плоскости α. (Рис.11).

Рис.11

Теорема доказана.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: