Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Зададимся вопросом: какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность , при испытаниях появляется не менее раз и не более раза?

Введем функцию Лапласа:

, (11)

Интеграл не выражается через элементарные функции, для его вычисления используются специальные таблицы. Функция обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) , то есть функция нечетна;

4) - монотонно возрастающая функция;

5) при , с точностью до тысячных, можно принять .

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы , то при вероятность появления события А ровно в n независимых испытаниях не менее раз и не более раз приближенно равна

(12)

где - функция Лапласа, значения которой определяются таблично, .

Замечание 1. Для того, чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, соотношение (12) преобразуют к виду:

Замечание 2. Функция Лапласа является нечетной функцией . При можно принять .

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.