Нормальное распределение и его свойства

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. Это распределение следует закону, открытому тремя учеными в разное время: Муавром в 1733 г. во Франции, Гауссом в 1809 г. в Германии и Лапласом в 1812 г. во Франции.

где u – высота кривой прямо над всяким заданным значением х на графике распределения частот;

е – основание системы натуральных логарифмов = 2,718..,

а и s - числа, которые определяют положение кривой относительно числовой оси и регулируют ее размах.

График нормального распределения представляет собой так называемую колоколообразную симметричную кривую. Меняя значения а и s, можно сдвигать конкретную нормальную кривую по числовой оси вверх и вниз и менять ее размах.

Величина a соответствует среднему распределения частот большой выборки (математическому ожиданию); s - стандартному отклонению этого распределения. Таким образом, параметр а (математическое ожидание) характеризует положение, а параметр s² (дисперсия) – форму нормальной кривой.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0, s²=1, т.е. N(0;1), называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной. Площадь ограниченная такой кривой равна = 1.

Для совмещения любой нормальной кривой с единичной достаточно выполнить простое преобразование исходного распределения путем вычитания среднего значения из каждого индивидуального балла Х _i и деления на s.

, z = 0, s=1.

Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения близкие к средней величине - достаточно часто. Нормальным такое распределение называется потому, что оно очень часто встречается в естественно - научных исследованиях и казалось «нормой» всякого массового случайного проявления признака.

Нормальная кривая всегда будет симметричной относительно а. Площадь между кривой и осью х равна 1.