2015-07-02
5063
Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины – модуля. Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это слово, имеющее множество значений, применяется не только в математике, но и в физике, архитектуре, технике, программировании и других точных науках.
Несмотря на кажущуюся простоту определения модуля числа, решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, вызывает определенные трудности. По-видимому, они связаны с тем, что решение задач подобного рода предполагает элементарные навыки исследования, логического мышления, заключающиеся в переборе различных возможных вариантов, так как в подавляющем большинстве задач одно уравнение или неравенство с модулем равносильно совокупности или системе нескольких уравнений и неравенств, освобожденных от знака модуля.
В этой главе мы систематизировали информацию о модуле и рассмотрели некоторые методы решения уравнений и неравенств с модулем.
Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на числовой оси.
Модуль числа 
обозначают символом 
.
Другими словами, геометрически 
означает расстояние на числовой оси от начала отсчета до точки, изображающей число 
.
Если 
, то на числовой оси существует две точки и 
, равноудаленной от нуля, модули которых равны.
Если 
, то на числовой оси изображают точкой 
.
Пример. Решим уравнение: 
Решение. Согласно геометрической интерпретации модуля, уравнение описывает множество точек, удаленных от начала отсчета на расстояние 3. Это точки 
Ответ. –3; 3.
Пример. Решим уравнение: 
Решение. Согласно геометрической интерпретации модуля, расстояние не может быть отрицательно. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Термин «модуль» ввел английский математик Р. Котес (1682 – 1716), знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841 г.
Иногда вместо термина «модуль» используют термин «абсолютная величина» или «абсолютное значение» числа.
Дадим алгебраическое определение модуля.
Определение. Модуль числа или абсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю и равна , если меньше нуля:
Пример. В соответствии с приведенным определением 
, 
, 
Из определения модуля следует, что для любого действительного числа , 
.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Согласно алгебраическому определению модуля, имеем: 
.
Ответ. –3; 3.
Пример. Решим уравнение:
Решение. Согласно алгебраическому определению модуля, имеем: . Следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Теорема 6. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел или 
.
Доказательство. Если число положительно, то число отрицательно, то есть 
. Отсюда, в силу транзитивности отношения «меньше», следует, что 
. В этом случае 
, то есть совпадает с большим из двух чисел и .
Если число отрицательно, тогда число положительно и 
, то есть большим числом является . По определению, в этом случае, 
− снова, равно большему из двух чисел и . Теорема доказана.
Следствие. Для любого действительного числа справедливо: 
.
Доказательство. В самом деле, как 
, так и равны большему из чисел и , а следовательно,, равны между собой.
Следствие. Для любого действительного числа справедливы неравенства 
, 
.
Доказательство. Умножим второе равенство 
на 
, изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим следующие неравенства: , 
справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получим: 
.
Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел a и –a.
Теорема 7. Абсолютная величина любого действительного числа равна арифметическому квадратному корню из 
, то есть 
.
Доказательство. В самом деле, если 
, то, по определению модуля числа, имеем: .
С другой стороны, при , 
, следовательно, .
Если 
, тогда и 
и в этом случае .
Теорема доказана.
Теорема 7 дает возможность при решении некоторых задач заменять на 
.
Для любых действительных чисел справедливы следующие свойства:
.
; 
; 
;
; 
