Теоретическая часть

Лабораторная работа 8

Вынужденные колебания в последовательном

Колебательном контуре

Цель работы. Исследование амплитудно-частотной и фазово-частотной зависимостей напряжения на конденсаторе в последовательном колебательном контуре.

Приборы и оборудование. Катушка, конденсатор, резистор переменного сопротивления, генератор синусоидального напряжения, цифровой вольтметр, электронный осциллограф.

Теоретическая часть

На рис.1 изображен последовательный колебательный контур. Согласно второму правилу Кирхгофа в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений на элементах контура равна внешней ЭДС, то есть

. (1)

Здесь

, , (2)

- мгновенные (зависящие от времени) напряжения на катушке, резисторе и конденсаторе, - сила тока в контуре, q - заряд конденсатора. Уравнение (1) с учетом (2) может быть преобразовано к виду

, (3)

где

, . (4)

Рис. 1. Последовательный колебательный контур

Нас будет интересовать случай, когда внешняя ЭДС меняется по гармоническому закону

( и - амплитуда и частота колебаний ЭДС). Тогда частое решение уравнения (3), описывающее установившиеся колебания напряжения на конденсаторе, имеет вид

, (5)

где

(6)

- амплитуда колебаний напряжения , - фазовый сдвиг:

. (7)

Из формулы (5) видно, что напряжение на конденсаторе колеблется с частотой внешнего воздействия , которое оказывает на контур источник ЭДС . Такие колебания называются вынужденными, а частоту называют частотой вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний зависят от частоты внешнего воздействия и параметров контура. Параметры контура (L, C и R) входят в формулы (6), (7) через величины и , которые имеют определенный физический смысл. Так представляет собой частоту собственных незатухающих колебаний (которые могли бы происходить в контуре в отсутствие внешнего воздействия и затухания, то есть при 0 и R = 0), а - коэффициент затухания собственных колебаний в контуре с активным сопротивлением R.

Особый интерес представляют зависимости амплитуды и фазы от частоты внешнего воздействия . Рассчитанные по формулам (6), (7) графики зависимостей и представлены на рис. 2, 3.

Рис.2. Амплитудно-частотные зависимости напряжения на конденсаторе

Рис.3. Фазово-частотные зависимости напряжения на конденсаторе

Амплитуда напряжения на конденсаторе достигает резкого максимума (резонанса) при частоте внешней ЭДС равной

. (8)

Эту формулу нетрудно получить, исследуя на минимум подкоренное выражение в (6). Заметим, что резонансная частота в данном случае отличается как от собственной частоты незатухающих колебаний , так и от частоты затухающих колебаний в контуре . Однако в большинстве практически важных случаев коэффициент затухания мал () и . Амплитуда напряжения на конденсаторе в этом случае (при резонансе) определяется формулой

. (9)

Важной характеристикой колебательного контура является добротность

, (10)

то есть отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешней ЭДС. При слабом затухании ()

. (11)

Заметим, что при низких частотах, когда и из формулы (6) следует

. (12)

Этот результат физически понятен: при низких частотах сопротивление конденсатора велико и на нем падает практически все приложенное к контуру напряжение. Из формулы (12) следует, что, если, например, частота колебаний в 10 раз меньше резонансной, то при слабом затухании амплитуда напряжения на конденсаторе отличается от примерно на 1%.