Случайные погрешности

Случайные погрешности – это погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Их нельзя исключить опытным путём, т.к. они происходят от одновременного влияния на результат измерения ряда величин случайного характера (внешних воздействий). Кроме этого, в случайную погрешность входят и случайные погрешности средств измерений.

Уменьшение влияния случайных погрешностей на результат измерений достигается путём усреднения многократных измерений величины в одинаковых условиях.

Рис.3

σ2 › σ1

Из теории вероятностей известно, что наиболее полно случайные величины описываются законами распределения вероятностей. В практике электрических измерений одним из наиболее распространённых законов является нормальный закон (распределение Гаусса).

Функция распределения для нормального закона (рис.3) выражается зависимостью

где - функция распределения плотности вероятности случайной погрешности ,

σ- среднеквадратическое отклонение,

D=σ² – дисперсия, характеризующая рассеивание случайной погрешности относительно центра распределения.

График показывает, что чем меньше σ, тем чаще встречаются погрешности малой величины (тем точнее выполнены измерения).

В общем случае вероятность появления погрешности со значением от до определяется площадью заштрихованного участка на рис.3 и может быть вычислена по формуле:

.

Следует учесть, что эта функция нормирована, т.е.

,

поэтому кривые σ₁ и σ₂ всегда имеют форму, обеспечивающую равенство 1 площадей под этими кривыми.

Интервал от до называется доверительным, а соответствующая вероятность – доверительной вероятностью. Следовательно, доверительный интервал - это интервал, в пределах которого находится искомая величина с вероятностью, называемой доверительной.

Если ввести нормированную случайную величину , то правая часть преобразуется в функцию Лапласа, часто называемую интегралом вероятности:

.

Он табулирован и его график представлен на рис.4:

Если задана некоторая вероятность , то найдя можно определить погрешность по формуле . Эта погрешность и будет определять величину доверительного интервала.

Табулированные значения функции показывают, что вероятность появления погрешности Δ в интервале от до составляет 0,9973. Вероятность появления погрешности большей чем ± равна (1 - 0,9973) = 0,0027 ≈ 1/370. Это означает, что только одна из 370 погрешностей (т.е. примерно 0,3% их числа) будет больше по абсолютному значению .

Погрешность ± принимают за максимальную погрешность. Погрешности больше , считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются (отбрасываются). Часто это условие называют "законом 3σ", т.е. если выполняется условие

Δ_{i max} ≤ 3σ, (2)

то считается, что в этом случае в результатах измерений промахов нет (с вероятностью 0,3%).