Определители

ГЛАВА 1

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Определители

Определителем второго порядка называется число, которое обозначается символом

и вычисляется по правилу

Числа называются элементами определителя (первый индекс указывает номер строки, а второй номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент); диагональ, образованная элементами , , называется главной, элементами , побочной.

Аналогично вводится понятие определителя третьего порядка.

Определителем третьего порядка называется число, которое обозначается символом

и вычисляется по правилу

Диагональ, образованная элементами , , , называется главной, элементами , , побочной.

Чтобы запомнить какие произведения в правой части равенства (1) берутся со знаком «», а какие со знаком «», полезно использовать следующее «правило треугольников»:

Можно ввести понятие определителя 4-го, 5-го и т. д. порядков.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, образованный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на , где номер строки, номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент:

.

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами со столбцами.

Рассмотренная операция называется транспонированием. Свойство 1

устанавливает равноправность строк и столбцов определителя.

2. Перестановка двух строк или двух столбцов определителя равносильна его умножению на .

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то определитель равен нулю.

4. Постоянный множитель из строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если все элементы столбца или строки равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель Я, то величина определителя не изменится.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца или строки на их алгебраические дополнения. Например,

.