Понятие определителя

Рассмотрим совокупность n натуральных чисел 1, 2, …, n. Эти числа можно располагать в любом порядке. Всевозможные расположения этих чисел называют перестановками этих чисел. Перестановка (1,2,…,n), в которой числа расположены в порядке их возрастания, называется нормальной (или естественной). Число всех возможных перестановок n чисел равно n!=n×(n–1)×(n–2)×…×2×1.

Пример. Запишем все возможные перестановки при n = 3:
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Число всех различных перестановок трех натуральных чисел равно 3!=3×2×1=6.

Инверсией (беспорядком) в перестановке чисел называется
такое расположение чисел, когда большее число стоит в этой перестановке перед меньшим. Например, в перестановке (3, 1, 2, 4) две инверсии – (3, 1) и (3, 2).

Число инверсий может быть четным, в этом случае перестановка называется четной. Число инверсий может быть нечетным, тогда перестановка называется нечетной. В приведенном примере число инверсий в первой перестановке – 0, во второй – 1, в третьей – 1, в четвертой – 2, в пятой – 2, в шестой – 3. Таким образом, первая, четвертая и пятая перестановки – четные, вторая, третья и шестая перестановки – нечетные.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка n:

Определение. Определителем матрицы А порядка n (или определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, при этом произведение берется со знаком ²+², если вторые индексы его элементов образуют четную перестановку, и со знаком ²–², если эта перестановка нечетная, в то время как первые индексы образуют нормальную перестановку.

В дальнейшем будем оперировать элементами, строками и столбцами определителей, не оговаривая специально, что это элементы, строки и столбцы соответствующей матрицы. Порядок определителя полагается равным порядку соответствующей матрицы. Таким образом, определители выступают как самостоятельный объект изучения.

Определитель n-го порядка обозначают символом , или , или :

(3.6)

Определитель матрицы (3.3) треугольного вида, т.е. определитель вида , где

будем называть определителем треугольного вида. Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали его матрицы. Это утверждение следует непосредственно из определения определителя.

Примеры.

1. Определителем второго порядка в соответствии с приведенным определением называется выражение

2. Определителем третьего порядка будет выражение

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (3.6), легко запомнить, пользуясь схемой (рис.3.1), которая называется правилом треугольников или правилом Саррюса.