Угол между двумя векторами , :
Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.
Задание. Найти угол между векторами и
Решение. Косинус искомого угла
16. Вычисление угла между прямыми, прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.
Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным , а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным .
|
|
§ 69. Вычисление угла между прямыми.
Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости (§ 32). Обозначим через φ величину угла между прямыми l 1и l 2, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.
Тогда, если
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (1) § 20 имеем
следовательно,
Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями
Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы
(1)
Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).
17. Параллельные прямые, Теоремы о параллельных прямых
Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.