П.1. Векторы. Операции над векторами

Вектор может быть представлен в виде:

(34)

где – проекции вектора на оси координат (координаты вектора), векторы – это орты (единичные векторы) координатных осей (рис. 17).

Векторную формулу (34) можно писать сокращенно: = { a_x; a_y; a_z }.

Орты имеют проекции:

={1; 0; 0}, ={0; 1; 0}, ={0; 0; 1}.

Модуль (длина) вектора = { a_x; a_y; a_z } определяется по формуле:

. (35)

Координатами точки М называют проекции ее радиус-вектора (рис. 17). Обозначают координаты точки М (x; y; x) или М (x_М; y_М; x_М).

Расстояние между точками А (x_А , y_А, z_А) и B (x_В, y_B, z_B,) определяется по формуле:

. (36)

Если известны координаты точек – начала и конца вектора :

А (x_А , y_А, z_А), B (x_В, y_B, z_B), то проекции вектора можно найти по формуле:

. (37)

Пусть даны векторы = { a_x; a_y; a_z } и = { b_x; b_y; b_z }, тогда проекции суммы (разности) векторов:

. (38)

Произведение вектора на число: если λ – число и = λ , то

= { λa_x; λa_y; λa_z }. (39)

Скалярное произведение векторов и – это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

где φ – угол между векторами и .

Другие обозначения скалярного произведения: , .

Если = { a_x; a_y; a_z }, = { b_x; b_y; b_z }, то скалярное произведение

(40)

При помощи скалярного произведения можно найти угол между векторами:

(41)

а также проекцию одного вектора на ось другого вектора:

(42)

Векторное произведение вектора на вектор – это вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1) , ;

2) векторы , и образую правую тройку;

3) , то есть | | равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 18).

Обозначения векторного произведения: , .

Если = { a_x; a_y; a_z }, = { b_x; b_y; b_z }, то векторное произведение можно вычислить при помощи определителя:

или, с использованием формулы (27):

(43)

Векторное произведение используют, когда нужно найти вектор , перпендикулярный двум данным векторам и : , а также для вычисления площади параллелограмма (или треугольника), построенного на векторах и (рис. 18):

(44)

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению векторов и .

Обозначения смешанного произведения: или .

Если = { a_x; a_y; a_z }, = { b_x; b_y; b_z } и = { с_x; с_y; с_z }, то смешанное произведение можно вычислить при помощи определителя:

= . (45)

Если три ненулевых вектора , и параллельны одной и той же плоскости (компланарны), то их смешанное произведение равно нулю:

= 0. (46)

Объем V параллелепипеда, построенного на векторах , и можно вычислить по формуле:

. (47)