Определение производной функции и её обозначения

Пусть в некотором промежутке определена функция . Зафиксируем , принадлежащее этому промежутку.

Дадим аргументу приращение , так чтобы точка также принадлежала этому промежутку. При этом функция получит приращение

.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции в точке и обозначают (читается "эф штрих от икс нулевого").

Таким образом,

.

Определение. Производной данной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю.

Пример 1. Дана функция . Найти ее производную в произвольной точке .

Решение:

Аргументу даем приращение . Находим :

,

Составляем отношение и находим предел этого отношения:

.
Таким образом, , т.е. производная функции равна 1 в любой точке.

Ответ: в любой точке.

Пример 2. Найти производную функции в произвольной точке .