Исследование функций на экстремум

Точка называется точкой максимума (минимума) функции ,если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , . На рис.9 изображены точки: - точка максимума, - точка минимума.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Минимум или максимум функции называется экстремумом функции.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 1. Необходимое условие экстремума функции.

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю.

Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси .

Из теоремы 1 вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.

Обратное неверно: не при всяком значении , при котором производная обращается в нуль, обязательно существует экстремум. На рис.10 изображен график функции, у которой при производная равна нулю (касательная параллельна оси , но в этой точке функция не имеет экстремума.

Рассмотрим точки в которых функция не является дифференцируемой (то есть не существует конечной производной).

В таких точках функция может иметь минимум или максимум, а может не иметь ни того, ни другого.

Например, функция не имеет производной в точке , но в этой точке данная функция имеет минимум. (рис. 11).

Функция не имеет конечной производной в точке (касательной является ось ). В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. (рис.12).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум в точках, в которых производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Теорема 2. Достаточное условие экстремума.

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума, а если с минуса на плюс, то - точка минимума.

Правило исследования функции на экстремум:

1. Найти критические точки функции , то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

2. Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции.

3. Определить знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек.

4. В соответствии с достаточными условиями экстремума выписать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.

Пример. Найти точки экстремума функции и значения функции в этих точках.

Решение. Область определения функции – вся числовая прямая.

Находим производную данной функции и приравниваем ее к нулю: . Решая это уравнение, получаем и - критические точки (необходимое условие экстремума выполнено).

Проверяем выполнение достаточного условия экстремума. Рассмотрим точку . Слева от этой точки , например, , справа от нее , например, . Следовательно, достаточные условия экстремума выполняются, и точка является точкой минимума. Находим значение функции в точке минимума: .

Теперь рассмотрим точку . Слева от этой точки , справа , Следовательно, достаточное условие экстремума не выполняется и точка не является точкой экстремума.

Ответ:

Вопрос. Производная функции равна . Какая из критических точек не является точкой экстремума?

Начало формы

	все точки являются точками экстремума