Разложение элементарных функций по формуле Тейлора

Найдем разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки . Находя последовательно производные от этой функции, получим:

,

,

,

.

Находим значение

Подставим полученные значения в формулу Тейлора:

,

где - остаточный член в форме Лагранжа.

При получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа :

.

Так как , , то при и получим

Если задана погрешность , то подберем таким образом, чтобы .

.

Таким образом, .

Найдем разложение функции в окрестности точки по формуле Тейлора:

,

,

,

,

.

Таким образом, все производные четного порядка в точке равны нулю, а производные нечетного порядка равны или . Следовательно, разложение примет вид:

,

где остаточный член в форме Лагранжа равен .

Используя полученное разложение, приближенно вычислим . При вычислении ограничимся первыми двумя членами разложения:

.

Приведем разложения по формуле Тейлора в окрестности точки некоторых элементарных функций:

.

.

.

Формулу Тейлора при также называют формулой Макларена.

Вопрос. Разложение какой функции в окрестности точки имеет вид

?

Начало формы