Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой для кривой называется прямая, расстояние до которой до точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой, т.е. .

Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Прямая является вертикальной асимптотой, если

или,

или .

Для отыскания вертикальных асимптот необходимо найти те значения , при которых функция неограниченно возрастает или убывает. Обычно это точки разрыва второго рода.

Пример 1. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Решение. Знаменатель обращается в ноль в точках . Так как и , следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами.

Прямая является горизонтальной асимптотой, если .

Для того, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо найти предел функции при и .

Пример 2. Найти горизонтальную асимптоту графика функции .

Решение. Находим предел . Следовательно, горизонтальной асимптотой (причем влево) графика данной функции при является прямая . Заметим, что , поэтому горизонтальной асимптоты вправо не существует.

Уравнение наклонной асимптоты находится в виде ,

где .

Пример 3. Найти наклонную асимптоту графика функции .

Решение. Находим угловой коэффициент асимптоты: .

Далее вычисляем свободный член уравнения асимптоты:

.

Таким образом, наклонной асимптотой графика данной функции является прямая .

Вопрос. Горизонтальной асимптотой графика функции является прямая

Начало формы