Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

Если постоянные числа, то уравнение будем называть уравнением с постоянными коэффициентами. Кроме этого, будем считать что коэффициент при второй производной равен 1. Положим где и произвольные числа.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ) называется уравнение вида

где и некоторые действительные числа.

Общее решение ЛОДУ находится достаточно просто, если известны, так называемые, линейно независимые частные решения этого уравнения.

Функции и называются линейно независимыми на множестве D, если их отношение не является постоянной величиной, то есть или другими словами: не существует такого постоянного числа при котором выполнено равенство

В противном случае, функции и называются линейно зависимыми. Например, функции и линейно независимые, а функции и линейно зависимые.

Обозначим через общее решение однородного уравнения ().

Теорема 8.4. (о структуре общего решения ЛОДУ второго порядка). Если и – два линейно независимые частные решения ЛОДУ то функция общее решение этого уравнения, где и произвольные постоянные.

Замечание: Не существует общего метода нахождения частных решений уравнения , когда коэффициент переменные, но для случая, когда они являются константами, Эйлером создан очень удобный метод нахождения частных решений.

Характеристические уравнения для ЛОДУ второго порядка:

Будем искать решение в виде , где k-const.

Очевидно, что . Подставим эти выражения в уравнение:

Уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение есть алгебраическое квадратное уравнение, имеющее два корня и Эти корни, в зависимости от дискриминанта, могут быть действительными и не равными друг другу, действительными и равными и комплексно-сопряженными.

1. т.е корни действительные и не равные друг другу.

По теореме общее решение ЛОДУ второго порядка имеет вид:

2. т.е корни действительные и равные друг другу.

По теореме общее решение ЛОДУ второго порядка имеет вид:

или

3. т.е корни комплексно сопряженные числа:

По теореме общее решение ЛОДУ второго порядка имеет вид:

или

Пример. Найти общее решение ЛОДУ второго порядка:

а) б) в)

Решение. а) Составим характеристическое уравнение для данного ЛОДУ: Найдем корни квадратного уравнения Корни действительные и не равные друг другу. Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:

б) Составим характеристическое уравнение для данного ЛОДУ: Найдем корни квадратного уравнения Корни действительные и равные друг другу. Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид:

в) Составим характеристическое уравнение для данного ЛОДУ: Найдем корни квадратного уравнения где Корни комплексные и сопряженные. Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид: