Глава 1. Показательная и логарифмическая функции

Показательной функцией называется функция при условии: и . При этом функция для и строго положительна. Показательная функция быстро возрастает при , причем если , то , а если , то . Если же , то функция быстро убывает, а её поведение противоположно. В любом случае .

Основные формулы для показательной функции аналогичны формулам для степенной функции: 1) , 2) , 3) ,

4) .

В математике есть понятие функции, обратной к данной функции , которую иногда обозначают как . Такую функцию получают, выражая из исходной функции через и меняя местами и в последнем выражении: . Графики функций и обратной к ней симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Функцией, обратной к показательной, является логарифмическая функция: . Логарифмическая функция определяется так: - это показатель степени, в которую надо возвести основание логарифма , чтобы получить данное число . Например, если , а , то . Или, если , а , то . Данное действие, т.е. нахождение числа по его логарифму, называется потенцированием. Логарифм по основанию 10 называется десятичным (), а логарифм по основанию числа называется натуральным ().

Из выше изложенного следует, что логарифмическая функция определена для , и . Она будет возрастающей для и убывающей для , и в любом случае . Основным показательным тождеством называется тождество: . А основным логарифмическим тождеством - . Они оба вытекают из определения логарифма.

При решении логарифмических уравнений и неравенств используют следующие основные свойства логарифма, причем приведённые равенства могут быть применены как в ту, так и в другую сторону:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Последнее соотношение может быть использовано и для нахождения с помощью инженерного калькулятора или логарифмических таблиц логарифма по любому основанию, если взять равным или .

Примеры графиков показательной и логарифмической функций даны на рисунке 1.