Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Св-ва:1.

2. или один из векторов =

3.

4.

5. ,m- число

Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов a и b называется вектор с, который удовлетворяет следующие условия:

1.

2.

3.Векторы a,b,c образуют правую тройку

Св-ва: 1.

2.

3.

4.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов a,b,c называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор c.

Св-ва: 1.

2.

3.

4. - компланарны (принадлежат одной пл-ти)

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Определение: число λ называется собственным значением линейного оператора А, если существует не 0 вектор х такой, что

Утверждение: для того, чтобы число λ было собственным значением линейного оператора А необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения:

det(A-λE)=0

Св-ва: 1.Все собственные векторы принадлежат одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство.

2.Если собств.векторы принадлежат попарно различным собств.значениям, то они линейно -независимы.

3.Пусть собств.значение λ лин.преобраз.А является корнем характеристического ур-ия кратности с, тогда ему принадлежит не более с линейно-независимо собств.векторов.

Определение вещественного евклидова пр-ва:

Линейное пр-во L называется евклидовым пр-вом, если: 1.есть правило по которому любым 2-ум эл-там ставится в соответствии действ.число называемое скалярным произведением этих эл-тов и обозначаемое

2.Это правило подчинено след.аксиомам

I. II.

III.

IV.