Лемма 2. Жорданова матрица

подобна над полем матрице .

Доказательство. Пусть — матрица линейного оператора -мерного комплексного пространства в базисе (1).

Рассмотрим систему векторов

(2)

где .

Покажем, что (2) — линейно независимая система.

Так как (I) – базис , то и , т.е. . Так как (2) линейно независима и содержит векторов, то (2) – базис .

Найдем матрицу в базисе (2).

.

……………………….

.

Следовательно, матрица в базисе (2) равна

.

Так как и матрицы одного линейного оператора в базисах (I) и (2) соответственно, то они подобны.

Упражнение. Пусть ,

подобна . Тогда матрица подобна матрице .

Лемма 3. Всякая действительная квадратная матрица подобна над полем обобщенной жордановой матрице.

Доказательство. Пусть действительная квадратная матрица. Снова доказательства требует лишь случай, когда характеристический полином матрицы имеет недействительные корни. В этом случае жорданова нормальная форма матрицы над полем в силу леммы I имеет вид

, где .

Если , то . По лемме 2 подобна над полем обобщенной клетке Жордана. Следовательно, матрица подобна над полем обобщенной матрице Жордана.

Лемма 4. Если действительные матрицы подобны над полем комплексных чисел, то они подобны и над полем действительных чисел.

Доказательство. Пусть и — действительные квадратные матрицы, подобные над полем . Нужно доказать существование действительной матрицы такой, что

^-1 (I)

Умножим слева обе части равенства (I) на и перенесем все члены в одну сторону. Получим равенство

(2)

которое можно рассматривать как однородную систему линейных уравнений, в которой неизвестными являются элементы матрицы . Любое решение такой системы, удовлетворяющее дополнительному условию

дает нужную матрицу .

Так как матрицы и подобны над полем , то (2) имеет ненулевые комплексные решения. В силу того, что к тому же коэффициенты при неизвестных в (2) действительны, система (2) имеет ненулевые действительные решения.

Пусть , ,…, — фундаментальная система

действительных решений системы (2). Тогда всякое действительное решение системы (2) имеет вид

, где . Нужно показать, что существуют действительные значения такие, что .

является, очевидно, полиномом с действительными коэффициентами от неизвестных . Обозначим его через . является также фундаментальной системой решений системы (2), рассматриваемой над полем комплексных чисел. Так как матрицы и подобны над этим полем, то существуют комплексные значения такие, что , т.е. полином - ненулевой.

Методом математической индукции по количеству неизвестных легко доказывается, что для ненулевого полинома с действительными коэффициентами от нескольких неизвестных существует точка, в которой он принимает ненулевое значение.

Лемма доказана.

Из леммы 3,4 и теоремы 8 вытекает доказываемая нами теорема 9.

Приведем теперь алгоритм построения обобщенной жордановой нормальной формы матрицы, вытекающий из доказательства теоремы 9.

1. Находим характеристический полином матрицы и его корни. Из множества всех корней этого полинома выделим все различные корни с нетрицательной мнимой частью.

2. Пусть — один из выделенных корней. При этом в случае вещественного , пользуясь формулами (*) и (**) предыдущего параграфа, находим все клетки Жордана матрицы с чилом на диагонали. Если же , то пишем клеток для каждого из возможных значений .

3. Переходим к следующему из выделенных корней. С ним поступаем также, как и с . Процесс заканчивается, когда переберем все выделенные на первом шаге корни.

4. Из всех полученных клеток Жордана и обобщенных клеток Жордана составляем квазидиагональную матрицу. Эта матрица – искомая.

Замечание. При решении конкретных примеров целесообразно использовать соображения, высказанные ранее при построении жордановой нормальной формы.

Пример 1. Найти обобщенную жорданову нормальную форму матрицы

.

Корни таковы: . Следовательно,

.

Пример 2.

.

.

Корни с неотрицательной мнимой частью таковы: . Так как кратность каждого их них не выше , то для построения обобщенной жордановой формы достаточно найти количество всех клеток Жордана матрицы с числами и на диагонали, т.е. нужно найти и .

.

.

Следовательно,

.

§ 6. Нормальная форма Фробениуса.

Пусть — произвольное поле, а

- многочлен ненулевой степени над полем . Матрица

называется клеткой Фробениуса, сопровождающей многочлен . Например,

-

клетки Фробениуса, сопровождающие соответственно многочлены . Пусть

(I)

такая система многочленов ненулевых степеней над полем , что для многочлен делит многочлен и старший коэффициент каждого из них равен I. Пусть, далее, - клетка

Фробениуса, сопровождающая многочлен .

Квазидиагональная матрица называется матрицей Фробениуса, сопровождающей систему многочленов (I).

Если — матрица, а — подобная ей матрица Фробениуса, то называется нормальной формой Фробениуса матрицы .

Пусть — клетка Фробениуса, сопровождающая многочлен - расширение поля , содержащее все корни многочлена и — каноническое разложение многочлена над полем . Разлагая определитель

по элементам последнего столбца, получим . Вычислим количество клеток Жордана с диагональным элементом в жордановой нормальной форме матрицы , . С этой целью вычислим вначале ранг матрицы .

.

Следовательно, , и, значит, матрица

является жордановой нормальной формой матрицы над полем . Поэтому минимальный многочлен клетки Фробениуса равен и, значит, минимальный многочлен матрицы Фробениуса, сопровождающей систему многочленов (1), равен .

Пусть теперь — произвольная матрица над полем , — расширение поля , содержащее все корни характеристического многочлена матрицы ,

(2)

есть система ее элементарных делителей над полем . Будем считать многочлены в системе (2) расположенными так, что

(3)

Пусть для определенности, первая цепочка неравенств (3) самая длинная, т.е. . Введя обозначения , получим неравенства

(4)

Рассмотрим многочлены

(5)

Заметим, что равен НОК системы (2).

Упражнение. По аналогии с доказательством леммы I § 5 можно доказать, что коэффициенты многочленов принадлежат полю . Докажите.

В силу неравенств (4) для каждого многочлен делит многочлен . Пусть — матрица Фробениуса, сопровождающая систему многочленов (5). В силу того, что система элементарных делителей квазидиагональной матрицы является объединением систем элементарных делителей ее клеток, и только что рассмотренного случая, когда — клетка Фробениуса, системы элементарных делителей матриц и совпадают. Следовательно, матрицы и подобны над полем , — нормальная форма Фробениуса матрицы .

Упражнение. Доказать, что матрицы и подобны над полем . (Для решения этого упражнения можно использовать идею доказательства леммы 4 § 5.)

Докажем единственность нормальной формы Фробениуса матрицы . Пусть еще нормальная форма Фробениуса матрицы и сопровождает систему многочленов . Тогда подобна . Поэтому минимальные многочлены матриц и равны, т.е. . Следовательно, и, значит, системы элементарных делителей матриц и совпадают. Поэтому эти матрицы подобны. Проводя индукцию по числу , теперь получаем и . Учитывая , получаем .