Функции

Наряду с понятиями множества и элемента в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие неявным образом присутствует и в понятии множества, поскольку понятие множества предполагает, что каждый элемент данного множества обладает определенным свойством, отличающим его от элементов, не входящих в это множество. Иначе говоря, каждому из рассматриваемых элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является этот элемент элементом данного множества или нет.
Среди всевозможных соответствий важную роль в математике играют соответствия, называемые функциями. Опишем эти соответствия.
Пусть заданы непустые множества X и Y. Соответствие, при котором каждому элементу x X соответствует единственный элемент y Y, называется функцией, заданной (определенной) на множестве X со значениями в множестве Y, или отображением множества X в множество Y. Такая функция (такое отображение) обозначается с помощью некоторой буквы, например, буквы f одним из следующих способов:

y = f(x), x X, или f: X Y или f: x y, x X, y Y.

Наряду с терминами "функция", "отображение" употребляются равнозначные термины "преобразование", "морфизм". Элемент x X называется независимым переменным или аргументом, а соответствующий элемент y Y - зависимым переменным. Множество X называется множеством задания (определения) функции f, а множество тех y Y, каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному x X - множеством значений функции f и обозначается Y_f. Очевидно, Y_f Y. Если Y_f =Y, то отображение f называется отображением X на множество Y или сюръекцией. Если при x x выполняется неравенство f (x) f (x'), то отображение f называется взаимно однозначным отображением X в Y или инъекцией. Если f является взаимно однозначным отображением X на Y, т.е. является одновременно сюръекцией и инъекцией, то оно называется биекцией.

Если задано отображение f: X Y, то элементы множеств X и Y часто называются точками.

Символом f (x) обозначается как сама функция, так и элемент, соответствующий элементу x при этой функции. Обозначение одним и тем же символом f (x) как самой функции, так и ее значения в точке x не приводит к недоразумениям, так как всегда из контекста ясно, о чем идет речь. Значение функции в точке xo обозначается также f (x)|_xo.

Если f: X-> Y и E - подмножество множества X, то функция f_E: X-> Y, такая, что для каждого x E выполняется равенство f_E (x)= f (x), называется сужением функции на множество E. Таким образом, сужение f_E функции f принимает в точках x множества E те же значения, что и функция f. Иногда сужение f_E функции f обозначают тем же символом f, что и саму исходную функцию, и называют функцией f на множестве E.

Пусть заданы функция f: X Y и A X. Множество всех y Y, являющихся значениями функции f в точках x А, называется образом множества A при отображении f и обозначается f (A), т. е.

f (A) { y: x A, f (x)= y }.

В частности, образ множества X есть множество значений функции: f (X) = Y_f. Если B Y, то множество всех тех точек x X, значения функции f в которых принадлежат множеству B, называется прообразом множества B. То есть прообразом множества B является множество { x: f (x) B }.

Пусть Z - некоторое множество и Y = (Z) - множество всех его подмножеств. Если f: X Y, то значение f (x) функции f в точке x X является в этом случае некоторым подмножеством множества Z: f (x) Z. Если среди подмножеств f (x), x X, имеется по крайней мере одно непустое множество, содержащее более одного элемента, то функция f называется многозначной функцией. При этом всякий элемент z Z, принадлежащий множеству f (x) Z, т.е. z f (x), часто также называется значением функции f в точке x X.

Если каждое из множеств f (x) состоит только из одного элемента, то функцию f называют однозначной функцией. Пусть (X)- множество всех подмножеств множества X. Функция, определенная на множестве Yf = f (X) значений функции f: X Y, с областью значений, принадлежащей множеству (X), и ставящая в соответствие каждому элементу y Yf его прообраз { x: f (x)= y }, называется обратной к f функцией и обозначается через f -1: Yf (X). Обратная функция является, вообще говоря, многозначной функцией. Если отображение взаимно однозначно (т.е. является инъекцией), то обратная функция является однозначной. Если отображение f является взаимно однозначным отображением X на Y, то обратное отображение f -1 является взаимно однозначным отображением Y на X (т. е. если f: X Y - биекция, то и f -1: Y X - биекция), и поэтому f является в свою очередь отображением, обратным к отображению f -1. Это означает, что при любом x X имеет место равенство f -1 f (x)= x, а при любом y f (X) - равенство f f -1(y)= y. При этом для заданного инъективного отображения f: X Y каждое из указанных двух условий однозначно определяет обратное отображение f -1. Если f: X Y и g: Y Z, то функция F: X Z, ставящая в соответствие каждому элементу x X элемент F (x)= g (f (x)), называется композицией функций f и g (иногда – суперпозицией этих функций или сложной функцией) и обозначается g f. Таким образом, согласно определению для каждого x X имеет место равенство (g f)(x) g (f (x)).

Счетные множества. Множества Е и F называются равномощными если существует биекция f: E -> F. Множество E называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N.

Пример. Множество рациональных чисел Q счетно. Доказательство.

Представим рациональные числа в виде следующей таблицы:

0 1/1 1/2 1/3 1/4…

-1/1 -1/2 -1/3 -1/4…

2/1 2/2 2/3…

-2/1 -2/2 -2/3…

3/1 3/2…

-3/1 -3/2…

4/1…

-4/1…

Искомая биекция будет f: N->Q может быть определена правилом:

f(1)=0, f(2)=1/1, f(3)=-1/1, f(4)=1/2, f(5)=-1/2, ….

(встречающиеся ранее числа в дальнейшей нумерации не участвуют). Таким образом, Q равномощно N.