2015-10-16
6235
Определение. Пусть a и b произвольные элементы из R, причем a<b. Подмножество X множества R, удовлетворяющее условию 
выполняется неравенство a 
, будем называть отрезком и обозначать 
.
Определение. Пусть 
и 
множества действительных чисел таких, что 
, 
для любых 
, тогда система отрезков { 
} называется системой вложенных отрезков и для них выполняются включения:
Теорема 4.4.1. (о вложенных отрезках). Для всякой системы вложенных отрезков существует по крайней мере одно число, которое входит в каждый из этих отрезков.
Доказательство. ►Возьмем два множества A= { 
и B ={ 
Они не пусты и при любых n и m выполняется неравенство 
.Действительно, если 
. Если 
. Таким образом, классы A и B удовлетворяют аксиоме непрерывности и, следовательно, существует число λ такое, что 
для любого n, то есть λ 
◄
Утверждение доказанной теоремы и называется принципом Кантора, а множество, удовлетворяющее этому принципу называется непрерывном по Кантору. Мы можем сказать, что множество непрерывное по Дедекинду будет непрерывным по Кантору. Можно доказать и обратное (смотри Л.Д. Кдрявцев. Математический анализ. Т.1 Высшая школа, 1989).
