Числовая прямая

Между положительными числами из R и множеством отрезков можно установить взаимно-однозначное соответствие. Действительно, если дан произвольный отрезок [a,b], то ему можно поставить в соответствие число d= . Необходимо отметить тот факт, что этому числу будут соответствовать и другие отрезки, длины которых равны d. Таким образом, в действительности мы рассматриваем множество, состоящее из совокупностей отрезков одинаковой длины.

Обратно, если дано положительное число d, то каждому такому числу можно поставить в соответствие совокупность отрезков вида [a,a+d], . При таком соответствии число d удовлетворяет следующим условиям:

1. Равным отрезкам соответствуют равные числа;

2. Если В точка отрезка [А,С] и отрезкам [А,В] и [В,С] соответствуют числа a и b, то отрезку [А,С] соответствует число a + b;

3. Некоторому отрезку соответствует число 1.

Первое и третье условия очевидны. Второе свойство легко доказывается. По определению a=B-A, b=C-B, тогда C-A=B+b-(B-a)=a+b ч.т.д.

Теперь можно установить взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и числами из R. Возьмем произвольную прямую на плоскости. На этой прямой произвольно выберем точку и поставим ее в соответствие нулевому элементу множества R. Точка О разделила прямую на две части. Договоримся правую часть от точки О (если смотреть на эту точку) называть положительным лучем, а левую – отрицательным лучем. При этом будем говорить, что на прямой выбрано направление.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой осью будем называть прямую, на которой заданы:

1. Точка О, называемая началом отсчета или началом координат.

2. Направление.

3. Отрезок единичной длины.

Действительно для такой прямой можно установить взаимно-однозначное соответствие между числами и точками прямой. Пусть задано число a из R. Рассмотрим отрезок [0,a] длина этого отрезка будет . Числу a сопоставим точку A на прямой, которая расположена на расстоянии равном длине отрезка прямой и в численном выражении совпадает с . При этом если a>0, то точка А располагается на положительном луче, если a<0, то на отрицательном луче. Обратно, если дана точка на прямой, то используя единичный отрезок, можно построить систему стягивающихся отрезков, границы которых будут сходится к числу, соответствующего данной точке. Ясно, что двум разным числам будут соответствовать разные точки и наоборот – двум разным точкам соответствуют разные числа.

Числовую прямую (ось) будем также называть вещественной прямой (осью). Отсюда также следует геометрический смысл модуля вещественного числа: модуль числа равен расстоянию от начала координат до точки, изображающей это число на числовой оси. Отметим еще одно замечательное геометрическое свойство модуля вещественного числа. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, соответствующими этим числам на вещественной оси.

Далее приведем обозначения, которые применяются для записи некоторых стандартных числовых множеств. Иногда множество вещественных чисел обозначается как (−∞,+∞). Подмножества этого множества:

(a, b) = { x | x ∈ R, a < x < b} - интервал;

[ a, b] = { x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b} - отрезок;

(a, b] = { x | x ∈ R, a < x ≤ b} или [a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтервалы или полуотрезки;

(a, +∞) = { x | x ∈ R, a < x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[a, +∞) = { x | x ∈ R, a ≤ x} или (−∞, b] = { x | x ∈ R, x ≤ b} - замкнутые лучи.