Предположим, что заданы координаты векторов :
. Тогда
Можно доказать, что , если пара векторов - правая, и , если пара векторов - левая.
Аналог смешанного произведения для векторов плоскости
Для векторов на плоскости операция, аналогичная смешанному произведению, будет операцией над двумя векторами.
Если два вектора на плоскости имеют координаты: , то естественно определить аналог смешанного произведения как число равное определителю:
Ввиду доказанной формулы для , получим геометрический смысл этой операции: , если пара векторов - правая и , если эта пара левая.
Аналогия простирается и дальше на пространство любой размерности.
Задача
Докажите, что аналог векторного произведения для векторов плоскости – это операция, совершаемая над одним вектором (результат обозначим ). Она сводится к повороту этого вектора на против часовой стрелки.
Указание
Определите координаты вектора из условия:
для любого вектора
То есть мы как бы «делим» скалярно «смешанное произведение» на вектор .
|
|
ЗАДАНИЯ УПРАЖНЕНИЙ
1. Даны координаты точек на плоскости . Найти
а) координаты вектора ,
б) координаты точки - середины отрезка ,
в) координаты точки , если ,
г) координаты точки , если ,
д) координаты точки , если .
2. Даны координаты векторов
Найти а) координаты ,
б) координаты ,
в) координаты .
3. Даны длины векторов и угол между ними
Найти а) скалярное произведение ,
б) скалярное произведение ,
в) длину вектора ,
г) проекцию вектора на направление другого вектора ,
д) угол между векторами и .
4. Даны координаты векторов
Выполнить задания пунктов а) - д) предыдущей задачи.
5. При каком значении параметра векторы и будут перпендикулярны?
6. При каких значениях и векторы и будут параллельны?
7. Даны длины векторов и угол между ними
Найти а) длину векторного произведения ,
б) длину векторного произведения .
8. Даны координаты векторов
Найти координаты векторного произведения .
9. Даны координаты вершин треугольника на плоскости
. Найти площадь треугольника .
10. Даны координаты вершин треугольника в пространстве
. Найти площадь треугольника .
11. Даны координаты векторов в пространстве
Найти смешанное произведение .
12. Даны координаты вершин пирамиды в пространстве
. Найти а) объём пирамиды ,
б) длину высоты .
13. При каком значении параметра векторы , , будут компланарны?
14. При каком значении параметра точки будут лежать в одной плоскости?