2015-06-28
2639
Предположим, что заданы координаты векторов 
:
. Тогда
Можно доказать, что 
, если пара векторов 
- правая, и 
, если пара векторов - левая.
Аналог смешанного произведения для векторов плоскости
Для векторов на плоскости операция, аналогичная смешанному произведению, будет операцией над двумя векторами.
Если два вектора на плоскости имеют координаты: , то естественно определить аналог смешанного произведения как число равное определителю:
Ввиду доказанной формулы для 
, получим геометрический смысл этой операции: 
, если пара векторов - правая и 
, если эта пара левая.
Аналогия простирается и дальше на пространство любой размерности.
Задача
Докажите, что аналог векторного произведения для векторов плоскости – это операция, совершаемая над одним вектором 
(результат обозначим 
). Она сводится к повороту этого вектора на 
против часовой стрелки.
Указание
Определите координаты вектора из условия:
для любого вектора 
То есть мы как бы «делим» скалярно «смешанное произведение» на вектор .
ЗАДАНИЯ УПРАЖНЕНИЙ
1. Даны координаты точек на плоскости 
. Найти
а) координаты вектора 
,
б) координаты точки 
- середины отрезка 
,
в) координаты точки 
, если 
,
г) координаты точки 
, если 
,
д) координаты точки 
, если 
.
2. Даны координаты векторов 
Найти а) координаты 
,
б) координаты 
,
в) координаты 
.
3. Даны длины векторов и угол между ними 
Найти а) скалярное произведение 
,
,в) длину вектора 
,
г) проекцию вектора на направление другого вектора 
,
д) угол между векторами 
и 
.
4. Даны координаты векторов 
Выполнить задания пунктов а) - д) предыдущей задачи.
5. При каком значении параметра 
векторы 
и 
будут перпендикулярны?
6. При каких значениях и 
векторы и будут параллельны?
7. Даны длины векторов и угол между ними 
Найти а) длину векторного произведения 
,
б) длину векторного произведения 
.
8. Даны координаты векторов 
Найти координаты векторного произведения 
.
9. Даны координаты вершин треугольника на плоскости
. Найти площадь треугольника 
.
10. Даны координаты вершин треугольника в пространстве
. Найти площадь треугольника .
11. Даны координаты векторов в пространстве 
Найти смешанное произведение 
.
12. Даны координаты вершин пирамиды в пространстве
. Найти а) объём пирамиды 
,
б) длину высоты 
.
13. При каком значении параметра векторы , , 
будут компланарны?
14. При каком значении параметра точки 
будут лежать в одной плоскости? 
