2015-10-13
683
11. 
Ответ: 
12.
Ответ:
13.
Ответ:
14.  ;
| 15.  ;
|
16.  ;
| 17.  .
|
Найти производные порядка 
Если 
и 
- функции, имеющие производные порядка 
, то
;
- формула Лейбница.
18. 
;
19. 
;
20. 
;
21. 
;
22. 
;
23. 
;
24. 
;
25. 
.
Составить уравнения касательных и нормалей к кривым
Уравнение касательной к кривой 
в точке 
имеет вид
, а уравнение нормали – 
в точке 
Касательная 
Нормаль 
в точке 
в точке 
в точке
в точке 
в точке 
Найти дифференциалы функций
Если 
и 
дифференцируемые функции от 
26.  ;
| 27.  ;
|
28.  ;
| 29.  ;
|
30.  ;
| 31.  .
|
Вычислить приближенно
32.  ;
| 33.  ;
|
34.  ;
| 35.  ;
|
36.  при 
| 37.  при 
|
38.  при 
| 39.  при 
|
Вычислить пределы с использованием правила Лопиталя
40.  ;
| 41.  ;
|
42.  ;
| 43.  ;
|
44.  ;
| 45.  ;
|
46.  ;
| 47.  ;
|
48.  ;
| 49.  ;
|
50.  ;
| 51.  ;
|
52.  ;
| 53.  ;
|
54.  ;
| 55.  ;
|
56.  ;
| 57.  ;
|
58.  ;
| 59.  .
|
Исследование функций одной переменной
Контрольные вопросы к теме
1. Критерии монотонности функции.
2. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.
3. Понятие стационарных точек функции.
4. Области выпуклости графика функции и точки перегиба.
5. План исследования функции и построение ее графика.
6. Интерполяция и аппроксимация функций.
7. Интерполяционный полином Лагранжа.
8. Формула Тейлора и формула Маклорена.
9. Понятие эмпирических функций.
Найти асимптоты кривой
Решение:
вертикальная асимптота
наклонная асимптота при 
Исследовать функцию и построить график:
Пример. План исследования функции и построения ее графика рассмотрим на примере функции 
.
I. Область определения X = R.
Функция не является периодической.
функция четная
II. 
асимптота, причем,
Так как y (x)® + ¥ при x ®+¥ и y ®-¥ при x ®-¥, то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных).
кроме горизонтальной асимптоты 
наклонных асимптот нет
III. Найти локальные экстремумы функции
;
Из уравнения 
находим стационарные точки при x = 1 и x = –1
IV. Найти точки перегиба функции
при 
, 
и 
(точки перегиба)
при 
- максимум; 
при 
– минимум
V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.
| x | (-¥;-  )
| –
| (– ;1)
| –1 | (–1;0) | |
| y'(x) | – | – | – | + | + | |
| y''(x) | – | + | + | + | ||
| min | ||||||
    
| точка пере-гиба | точка пере-гиба |
| x | (0;1) | (1; )
|
| (;¥)
| ||
| y'(x) | + | + | – | – | – | |
| y''(x) | – | – | – | + | ||
| max | ||||||
| точка пере-гиба | 
|  
| 
| точка пере-гиба | 
|
Построить графики функций:
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
