Интегрирование в симметричных пределах четных и нечетных функций

При вычислении определенных интегралов от четных и нечетных функций полезно иметь в виду следующие формулы:

(в предположении, что f(x) – непрерывная на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;a] функция).

Пример 5. Вычислить: .

Решение: подынтегральная функция чётная, поэтому

.

1.6. Интеграл от периодической функции по периоду

Пусть фуккция f(x) – непрерывная, периодическая с периодом Т, т.е. f(x+T)=f(x).

Для такой функции имеет место следующее свойство: интеграл от периодической функции по периоду не зависит от положения интервала интегрирования: , (т.е. на любом промежутке длины Тинтеграл от периодической функции имеет одно и то же значение).Пример Пример 6. Вычислить: .

Решение: подынтегральная функция имеет период T=π, поэтому из верхнего и нижнего периодов можно вычесть 2π, полученный интеграл будет равен данному:

ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.1. Геометрические приложения определенного интеграла