Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить , где f(x)- непрерывная на [a;b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения вместо старой переменной новой переменной t, связанной со старой соотношением .

Итак, введем новую переменную t, положив .

Пусть выполняются следующие условия:

а) функция определена и непрерывна на отрезке ;

б) при изменении t на значения функции не выходят за пределы отрезка . При этом ;

в) Функция на отрезке имеет непрерывную производную .

Тогда имеет место равенство

(4)

При пользовании формулой (4) следует функцию стараться выбирать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.

Пример 3. Вычислить:

Решение: применим подстановку: . Найдем пределы интегралов для новой переменной при , при .

Следовательно, при применении x от 1/3 до 1 новая переменная t изменяется от 3 до 1.

Функция - убывает и непрерывна вместе со своей производной

на отрезке

Пример 4. Вычислить: .

Решение.